progressione trigonometrica. Guida completa con esempi (2020)

Lezione e presentazione sul tema: "Sequenze numeriche. Progressione geometrica"

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Ragazzi, oggi faremo conoscenza con un altro tipo di progressione.
L'argomento della lezione di oggi è la progressione geometrica.

Progressione geometrica

Definizione. Una sequenza numerica in cui ogni termine, a partire dal secondo, è uguale al prodotto del precedente per un numero fisso, si chiama progressione geometrica.
Definiamo la nostra sequenza in modo ricorsivo: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
dove b e q sono determinati numeri. Il numero q è chiamato denominatore della progressione.

Esempio. 1,2,4,8,16… Progressione geometrica, in cui il primo membro è uguale a uno e $q=2$.

Esempio. 8,8,8,8… Una progressione geometrica il cui primo termine è otto,
e $q=1$.

Esempio. 3,-3,3,-3,3... Una progressione geometrica il cui primo termine è tre,
e $q=-1$.

La progressione geometrica ha le proprietà della monotonicità.
Se $b_(1)>0$, $q>1$,
quindi la sequenza è crescente.
Se $b_(1)>0$, $0 La sequenza è solitamente indicata come: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Proprio come in una progressione aritmetica, se il numero di elementi in una progressione geometrica è finito, allora la progressione si chiama progressione geometrica finita.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Si noti che se la sequenza è una progressione geometrica, anche la sequenza dei termini al quadrato è una progressione geometrica. La seconda sequenza ha il primo termine $b_(1)^2$ e il denominatore $q^2$.

Formula dell'ennesimo membro di una progressione geometrica

Una progressione geometrica può essere specificata anche in forma analitica. Vediamo come farlo:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Possiamo facilmente vedere lo schema: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
La nostra formula si chiama "formula dell'n-esimo membro di una progressione geometrica".

Torniamo ai nostri esempi.

Esempio. 1,2,4,8,16… Una progressione geometrica il cui primo termine è uguale a uno,
e $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Esempio. 16,8,4,2,1,1/2… Una progressione geometrica il cui primo termine è sedici e $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Esempio. 8,8,8,8… Una progressione geometrica in cui il primo termine è otto e $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Esempio. 3,-3,3,-3,3… Una progressione geometrica il cui primo termine è tre e $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Esempio. Data una progressione geometrica $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) È noto che $b_(1)=6, q=3$. Trova $b_(5)$.
b) È noto che $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Trova n.
c) È noto che $q=-2, b_(6)=96$. Trova $b_(1)$.
d) È noto che $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Trova q.

Soluzione.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ poiché $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Esempio. La differenza tra il settimo e il quinto membro della progressione geometrica è 192, la somma del quinto e del sesto membro della progressione è 192. Trova il decimo membro di questa progressione.

Soluzione.
Sappiamo che: $b_(7)-b_(5)=192$ e $b_(5)+b_(6)=192$.
Sappiamo anche: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Poi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Abbiamo un sistema di equazioni:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Eguagliando, le nostre equazioni ottengono:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Abbiamo due soluzioni q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Sostituiamo successivamente nella seconda equazione:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nessuna soluzione.
Abbiamo ottenuto che: $b_(1)=4, q=2$.
Troviamo il decimo termine: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

La somma di una progressione geometrica finita

Supponiamo di avere una progressione geometrica finita. Calcoliamo, come per una progressione aritmetica, la somma dei suoi membri.

Sia data una progressione geometrica finita: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Introduciamo la notazione per la somma dei suoi termini: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Nel caso in cui $q=1$. Tutti i membri della progressione geometrica sono uguali al primo membro, allora è ovvio che $S_(n)=n*b_(1)$.
Consideriamo ora il caso $q≠1$.
Moltiplicare l'importo sopra indicato per q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Nota:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Abbiamo ottenuto la formula per la somma di una progressione geometrica finita.

Esempio.
Trova la somma dei primi sette termini di una progressione geometrica il cui primo termine è 4 e il denominatore è 3.

Soluzione.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Esempio.
Trova il quinto membro della progressione geometrica, che è noto: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Soluzione.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Proprietà caratteristica di una progressione geometrica

Ragazzi, data una progressione geometrica. Consideriamo i suoi tre membri consecutivi: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Lo sappiamo:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Poi:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Se la progressione è finita, allora questa uguaglianza vale per tutti i termini tranne il primo e l'ultimo.
Se non si sa in anticipo che tipo di sequenza ha la sequenza, ma è noto che: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Allora possiamo tranquillamente dire che si tratta di una progressione geometrica.

Una sequenza numerica è una progressione geometrica solo quando il quadrato di ciascuno dei suoi termini è uguale al prodotto dei due termini vicini della progressione. Non dimenticare che per una progressione finita questa condizione non è soddisfatta per il primo e l'ultimo termine.

Diamo un'occhiata a questa identità: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ è detta media geometrica di a e b.

Il modulo di qualsiasi membro di una progressione geometrica è uguale alla media geometrica dei due membri ad essa adiacenti.

Esempio.
Trova x tale che $x+2; 2x+2; 3x+3$ erano tre membri consecutivi di una progressione geometrica.

Soluzione.
Usiamo la proprietà caratteristica:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ e $x_(2)=-1$.
Sostituiamo in sequenza nell'espressione originale, le nostre soluzioni:
Con $x=2$ otteniamo la sequenza: 4;6;9 è una progressione geometrica con $q=1,5$.
Con $x=-1$ otteniamo la sequenza: 1;0;0.
Risposta: $x=2.$

Compiti per una soluzione indipendente

1. Trova il primo ottavo membro della progressione geometrica 16; -8; 4; -2 ....
2. Trova il decimo membro della progressione geometrica 11,22,44….
3. È noto che $b_(1)=5, q=3$. Trova $b_(7)$.
4. È noto che $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Trova n.
5. Trova la somma dei primi 11 membri della progressione geometrica 3;12;48….
6. Trova x tale che $3x+4; 2x+4; x+5$ sono tre membri consecutivi di una progressione geometrica.

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi (nel nostro caso, loro). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale di essi è il primo, quale il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico di un solo numero di sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il -esimo numero) è sempre lo stesso.

Il numero con il numero è chiamato -esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio) e ciascun membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

I tipi più comuni di progressione sono aritmetica e geometrica. In questo argomento parleremo del secondo tipo: progressione geometrica.

Perché abbiamo bisogno di una progressione geometrica e della sua storia.

Già nell'antichità il matematico italiano, il monaco Leonardo da Pisa (meglio conosciuto come Fibonacci), si occupava delle esigenze pratiche del commercio. Il monaco si trovava di fronte al compito di determinare qual è il numero minimo di pesi che possono essere utilizzati per pesare le merci? Nei suoi scritti Fibonacci dimostra che un tale sistema di pesi è ottimale: Questa è una delle prime situazioni in cui le persone hanno dovuto affrontare una progressione geometrica, di cui probabilmente hai sentito parlare e di cui hai almeno un'idea generale. Una volta compreso appieno l'argomento, pensa al motivo per cui un tale sistema è ottimale?

Attualmente, nella pratica della vita, si manifesta una progressione geometrica quando si investono fondi in una banca, quando l'importo degli interessi viene addebitato sull'importo accumulato sul conto per il periodo precedente. In altre parole, se metti soldi su un deposito a termine in una cassa di risparmio, tra un anno il deposito aumenterà dell'importo originale, ad es. il nuovo importo sarà pari al contributo moltiplicato per. Tra un altro anno, questo importo aumenterà, ad es. l'importo ottenuto in quel momento viene nuovamente moltiplicato per e così via. Una situazione simile è descritta nei problemi informatici del cosiddetto interesse composto- la percentuale viene prelevata ogni volta dall'importo presente sul conto, tenendo conto degli interessi precedenti. Parleremo di questi compiti un po 'più tardi.

Esistono molti casi più semplici in cui viene applicata una progressione geometrica. Ad esempio, la diffusione dell'influenza: una persona ha infettato un'altra persona, questa, a sua volta, ha infettato un'altra persona, e quindi la seconda ondata di infezione è una persona, e lei, a sua volta, ne ha infettata un'altra... e così via.. .

A proposito, la piramide finanziaria, la stessa MMM, è un calcolo semplice e arido secondo le proprietà di una progressione geometrica. Interessante? Scopriamolo.

Progressione geometrica.

Diciamo che abbiamo una sequenza numerica:

Risponderai immediatamente che è facile e il nome di tale sequenza dipende dalla differenza dei suoi membri. Che ne dici di qualcosa del genere:

Se sottrai il numero precedente dal numero successivo, vedrai che ogni volta ottieni una nuova differenza (e così via), ma la sequenza esiste sicuramente ed è facile da notare: ogni numero successivo è volte più grande del precedente !

Questo tipo di sequenza si chiama progressione geometrica ed è contrassegnato.

Una progressione geometrica ( ) è una sequenza numerica, il cui primo termine è diverso da zero, e ciascun termine, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero. Questo numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica.

I vincoli secondo cui il primo termine ( ) non è uguale e non sono casuali. Diciamo che non ce ne sono, e il primo termine è ancora uguale, e q è, hmm .. lascia, quindi risulta:

Concordo sul fatto che questa non è una progressione.

Come hai capito, otterremo gli stessi risultati se è un numero diverso da zero, ma. In questi casi, semplicemente non ci sarà alcuna progressione, poiché l'intera serie di numeri sarà composta da tutti zeri o da un numero e tutti gli altri zeri.

Ora parliamo più in dettaglio del denominatore di una progressione geometrica, cioè di.

Ancora una volta, questo è il numero quante volte cambia ciascun termine successivo progressione geometrica.

Cosa pensi potrebbe essere? Esatto, positivo e negativo, ma non zero (ne abbiamo parlato un po' più in alto).

Diciamo che abbiamo un positivo. Nel nostro caso, a. Qual è il secondo termine e? Puoi facilmente rispondere:

Va bene. Di conseguenza, se, tutti i membri successivi della progressione hanno lo stesso segno: loro positivo.

E se fosse negativo? Ad esempio, a. Qual è il secondo termine e?

È una storia completamente diversa

Prova a contare il termine di questa progressione. Quanto hai ottenuto? Io ho. Quindi, se, allora si alternano i segni dei termini della progressione geometrica. Cioè, se vedi una progressione con segni alternati nei suoi membri, allora il suo denominatore è negativo. Questa conoscenza può aiutarti a metterti alla prova quando risolvi problemi su questo argomento.

Adesso facciamo un po' di pratica: proviamo a determinare quali sequenze numeriche sono una progressione geometrica e quali sono una progressione aritmetica:

Fatto? Confronta le nostre risposte:

Progressione geometrica - 3, 6.
Progressione aritmetica - 2, 4.
Non è né una progressione aritmetica né geometrica: 1, 5, 7.

Ritorniamo alla nostra ultima progressione e proviamo a trovare il suo termine come in aritmetica. Come avrai intuito, ci sono due modi per trovarlo.

Moltiplichiamo successivamente ciascun termine per.

Quindi, l'-esimo membro della progressione geometrica descritta è uguale a.

Come già intuisci, ora deriverai tu stesso una formula che ti aiuterà a trovare qualsiasi membro di una progressione geometrica. Oppure l'hai già tirato fuori tu stesso, descrivendo come trovare l'esimo membro in più fasi? Se è così, controlla la correttezza del tuo ragionamento.

Illustriamolo con l'esempio della ricerca dell'-esimo membro di questa progressione:

In altre parole:

Trova tu stesso il valore di un membro di una data progressione geometrica.

Accaduto? Confronta le nostre risposte:

Fai attenzione che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo successivamente moltiplicato per ciascun membro precedente della progressione geometrica.
Proviamo a "spersonalizzare" questa formula: la portiamo in una forma generale e otteniamo:

La formula derivata è vera per tutti i valori, sia positivi che negativi. Verificalo tu stesso calcolando i termini di una progressione geometrica con le seguenti condizioni: , a.

Hai contato? Confrontiamo i risultati:

D'accordo sul fatto che sarebbe possibile trovare un membro della progressione allo stesso modo di un membro, tuttavia, esiste la possibilità di sbagliare i calcoli. E se abbiamo già trovato l'esimo termine di una progressione geometrica, a, allora cosa potrebbe esserci di più semplice che usare la parte “troncata” della formula.

Una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Più recentemente abbiamo parlato di cosa può essere maggiore o minore di zero, tuttavia esistono valori particolari per i quali viene chiamata la progressione geometrica infinitamente decrescente.

Perché pensi che abbia un nome simile?
Per cominciare, scriviamo una progressione geometrica composta da aste.
Diciamo allora:

Vediamo che ogni termine successivo è inferiore al precedente in termini di tempo, ma ci sarà qualche numero? Risponderai immediatamente "no". Ecco perché l'infinitamente decrescente diminuisce, diminuisce, ma non diventa mai zero.

Per capire chiaramente come appare visivamente, proviamo a disegnare un grafico della nostra progressione. Quindi, nel nostro caso, la formula assume la seguente forma:

Nei grafici siamo abituati a creare dipendenza, quindi:

L'essenza dell'espressione non è cambiata: nella prima voce abbiamo mostrato la dipendenza del valore di un membro di progressione geometrica dal suo numero ordinale, e nella seconda voce abbiamo semplicemente preso il valore di un membro di progressione geometrica per, e il numero ordinale era designato non come, ma come. Tutto ciò che resta da fare è tracciare il grafico.
Vediamo cosa hai ottenuto. Ecco il grafico che ho ottenuto:

Vedere? La funzione decresce, tende a zero, ma non lo attraversa mai, quindi è infinitamente decrescente. Segniamo i nostri punti sul grafico e allo stesso tempo cosa significa la coordinata e:

Prova a rappresentare schematicamente il grafico di una progressione geometrica se anche il suo primo termine è uguale. Analizza qual è la differenza con il nostro grafico precedente?

Sei riuscito? Ecco il grafico che ho ottenuto:

Ora che hai compreso appieno le basi dell'argomento progressione geometrica: sai cos'è, sai come trovarne il termine e sai anche cos'è una progressione geometrica infinitamente decrescente, passiamo alla sua proprietà principale.

proprietà di una progressione geometrica.

Ricordi la proprietà dei membri di una progressione aritmetica? Sì, sì, come trovare il valore di un certo numero di una progressione quando ci sono valori precedenti e successivi dei membri di questa progressione. Ricordato? Questo:

Ora ci troviamo di fronte esattamente alla stessa domanda per i termini di una progressione geometrica. Per ricavare una formula del genere, iniziamo a disegnare e ragionare. Vedrai, è facilissimo e, se te ne dimentichi, puoi tirarlo fuori tu stesso.

Prendiamo un'altra semplice progressione geometrica, in cui sappiamo e. Come trovare? Con una progressione aritmetica, questo è facile e semplice, ma come è qui? In effetti, non c'è nulla di complicato nemmeno in geometria: devi solo dipingere ogni valore che ci viene dato secondo la formula.

Ti chiedi, cosa ne facciamo adesso? Sì, molto semplice. Per cominciare, rappresentiamo queste formule nella figura e proviamo a fare varie manipolazioni con esse per ottenere un valore.

Astraiamo dai numeri che ci vengono dati, ci concentreremo solo sulla loro espressione attraverso una formula. Dobbiamo trovare il valore evidenziato in arancione, conoscendo i termini ad esso adiacenti. Proviamo a eseguire varie azioni con loro, come risultato delle quali possiamo ottenere.

Aggiunta.
Proviamo ad aggiungere due espressioni e otteniamo:

Da questa espressione, come puoi vedere, non saremo in grado di esprimere in alcun modo, quindi proveremo un'altra opzione: la sottrazione.

Sottrazione.

Come puoi vedere, non possiamo esprimere neanche da questo, quindi proveremo a moltiplicare queste espressioni l'una per l'altra.

Moltiplicazione.

Ora guardiamo bene quello che abbiamo, moltiplicando i termini di una progressione geometrica che ci viene data rispetto a quello che dobbiamo trovare:

Indovina di cosa sto parlando? Correttamente, per trovarlo bisogna prendere la radice quadrata dei numeri di progressione geometrica adiacenti al numero desiderato moltiplicati tra loro:

Ecco qui. Tu stesso hai dedotto la proprietà di una progressione geometrica. Prova a scrivere questa formula in forma generale. Accaduto?

Condizione dimenticata quando? Pensa al motivo per cui è importante, ad esempio, prova a calcolarlo tu stesso, a. Cosa succede in questo caso? Esatto, totale assurdità, poiché la formula è simile a questa:

Di conseguenza, non dimenticare questa limitazione.

Ora calcoliamo cosa è

Risposta corretta - ! Se non hai dimenticato il secondo valore possibile durante il calcolo, allora sei un bravo ragazzo e puoi procedere subito all'allenamento, e se te ne sei dimenticato, leggi cosa viene analizzato di seguito e presta attenzione al motivo per cui entrambe le radici devono essere scritte nella risposta .

Disegniamo entrambe le nostre progressioni geometriche, una con un valore e l'altra con un valore, e controlliamo se entrambe hanno il diritto di esistere:

Per verificare se tale progressione geometrica esiste o meno, è necessario vedere se è la stessa tra tutti i suoi membri dati? Calcolare q per il primo e il secondo caso.

Vedi perché dobbiamo scrivere due risposte? Perché il segno del termine richiesto dipende dal fatto che sia positivo o negativo! E poiché non sappiamo di cosa si tratta, dobbiamo scrivere entrambe le risposte con un più e un meno.

Ora che hai padroneggiato i punti principali e dedotto la formula per la proprietà di una progressione geometrica, trova, conoscendo e

Confronta le tue risposte con quelle corrette:

Cosa ne pensi, e se ci venissero dati non i valori dei membri della progressione geometrica adiacenti al numero desiderato, ma equidistanti da esso. Ad esempio, dobbiamo trovare, e dato e. Possiamo usare la formula che abbiamo derivato in questo caso? Prova a confermare o smentire questa possibilità allo stesso modo, descrivendo in cosa consiste ciascun valore, come hai fatto quando hai derivato inizialmente la formula.
Cosa hai preso?

Ora guarda di nuovo attentamente.
e corrispondentemente:

Da ciò possiamo concludere che la formula funziona non solo con i vicini con i termini desiderati di una progressione geometrica, ma anche con equidistante da ciò che i membri stanno cercando.

Pertanto la nostra formula originale diventa:

Cioè, se nel primo caso dicevamo questo, ora diciamo che può essere uguale a qualsiasi numero naturale minore. La cosa principale è che entrambi i numeri dati siano uguali.

Esercitati su esempi specifici, fai solo molta attenzione!

, . Trovare.
, . Trovare.
, . Trovare.

Deciso? Spero che tu sia stato estremamente attento e abbia notato un piccolo problema.

Confrontiamo i risultati.

Nei primi due casi applichiamo con calma la formula sopra e otteniamo i seguenti valori:

Nel terzo caso, dopo un'attenta considerazione delle matricole dei numeri che ci vengono forniti, capiamo che non sono equidistanti dal numero che cerchiamo: è il numero precedente, ma rimosso di posizione, quindi non è possibile per applicare la formula.

Come risolverlo? In realtà non è così difficile come sembra! Scriviamo insieme a te in cosa consiste ogni numero che ci viene fornito e il numero desiderato.

Quindi abbiamo e. Vediamo cosa possiamo fare con loro. Suggerisco di dividere. Noi abbiamo:

Sostituiamo i nostri dati nella formula:

Il prossimo passo che possiamo trovare è che dobbiamo prendere la radice cubica del numero risultante.

Ora diamo un'occhiata di nuovo a ciò che abbiamo. Abbiamo, ma dobbiamo trovare, e questo, a sua volta, è uguale a:

Abbiamo trovato tutti i dati necessari per il calcolo. Sostituisci nella formula:

La nostra risposta: .

Prova a risolvere tu stesso un altro stesso problema:
Dato: ,
Trovare:

Quanto hai ottenuto? Io ho - .

Come puoi vedere, infatti, ne hai bisogno ricorda solo una formula- . Tutto il resto potrai ritirarlo tu stesso senza alcuna difficoltà in qualsiasi momento. Per fare ciò, scrivi semplicemente la progressione geometrica più semplice su un pezzo di carta e scrivi a cosa, secondo la formula sopra, ciascuno dei suoi numeri è uguale.

La somma dei termini di una progressione geometrica.

Consideriamo ora le formule che ci permettono di calcolare velocemente la somma dei termini di una progressione geometrica in un dato intervallo:

Per derivare la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica finita, moltiplichiamo tutte le parti dell'equazione precedente per. Noi abbiamo:

Guarda attentamente: cosa hanno in comune le ultime due formule? Esatto, membri comuni, ad esempio e così via, ad eccezione del primo e dell'ultimo membro. Proviamo a sottrarre la prima equazione dalla seconda equazione. Cosa hai preso?

Ora esprimiamo attraverso la formula un membro di una progressione geometrica e sostituiamo l'espressione risultante nella nostra ultima formula:

Raggruppare l'espressione. Dovresti ricevere:

Non resta che esprimere:

Di conseguenza, in questo caso.

Cosa succede se? Quale formula funziona allora? Immagina una progressione geometrica a. Com'è lei? Correttamente una serie di numeri identici, rispettivamente, la formula sarà simile a questa:

Come per la progressione aritmetica e geometrica, ci sono molte leggende. Uno di questi è la leggenda di Seth, il creatore degli scacchi.

Molte persone sanno che il gioco degli scacchi è stato inventato in India. Quando il re indù la incontrò, rimase deliziato dal suo ingegno e dalla varietà di posizioni possibili in lei. Dopo aver appreso che era stato inventato da uno dei suoi sudditi, il re decise di premiarlo personalmente. Chiamò a sé l'inventore e ordinò di chiedergli quello che voleva, promettendo di esaudire anche il desiderio più abile.

Seta chiese tempo per pensare, e quando il giorno dopo Seta apparve davanti al re, lo sorprese con l'impareggiabile modestia della sua richiesta. Chiese un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, per la seconda, per la terza, per la quarta e così via.

Il re si arrabbiò e scacciò Seth, dicendo che la richiesta del servo non era degna della generosità reale, ma promise che il servitore avrebbe ricevuto i suoi cereali per tutte le celle della tavola.

E ora la domanda è: utilizzando la formula per la somma dei membri di una progressione geometrica, calcolare quanti grani dovrebbe ricevere Seth?

Iniziamo a discutere. Poiché, secondo la condizione, Seth ha chiesto un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, per la seconda, per la terza, per la quarta, ecc., vediamo che il problema riguarda una progressione geometrica. Cosa è uguale in questo caso?
Giusto.

Totale celle della scacchiera. Rispettivamente, . Abbiamo tutti i dati, resta solo da sostituire nella formula e calcolare.

Per rappresentare almeno approssimativamente le "scale" di un dato numero, trasformiamo sfruttando le proprietà del grado:

Naturalmente, se vuoi, puoi prendere una calcolatrice e calcolare che tipo di numero ti ritroverai, altrimenti dovrai credermi sulla parola: il valore finale dell'espressione sarà.
Questo è:

quintilioni di quadrilioni di trilioni di miliardi di milioni di migliaia.

Fuh) Se volete immaginare l'enormità di questo numero, allora stimate la dimensione del fienile necessaria per accogliere l'intera quantità di grano.
Con un'altezza del fienile di m e una larghezza di m, la sua lunghezza dovrebbe estendersi fino a km, cioè due volte più lontano dalla Terra al Sole.

Se il re fosse bravo in matematica, potrebbe offrire allo scienziato stesso il compito di contare i grani, perché per contare un milione di grani avrebbe bisogno di almeno un giorno di instancabile conteggio, e dato che è necessario contare i quintilioni, i chicchi avrebbero dovuto essere contati per tutta la sua vita.

E ora risolveremo un semplice problema sulla somma dei termini di una progressione geometrica.
Vasya, uno studente di quinta elementare, si è ammalato di influenza, ma continua ad andare a scuola. Ogni giorno Vasya infetta due persone che, a loro volta, ne infettano altre due e così via. Solo una persona in classe. Entro quanti giorni tutta la classe prenderà l'influenza?

Quindi, il primo membro della progressione geometrica è Vasya, cioè una persona. membro della progressione geometrica, queste sono le due persone che ha contagiato il primo giorno del suo arrivo. La somma totale dei componenti della progressione è pari al numero degli studenti 5A. Parliamo quindi di una progressione nella quale:

Sostituiamo i nostri dati nella formula per la somma dei termini di una progressione geometrica:

L'intera classe si ammalerà in pochi giorni. Non credi nelle formule e nei numeri? Prova a ritrarre tu stesso l '"infezione" degli studenti. Accaduto? Guarda come mi sembra:

Calcola tu stesso per quanti giorni gli studenti prenderebbero l'influenza se tutti infettassero una persona e ci fosse una persona in classe.

Che valore hai ottenuto? Si è scoperto che tutti hanno iniziato ad ammalarsi dopo un giorno.

Come puoi vedere, questo compito e il suo disegno assomigliano a una piramide, in cui ogni successivo "porta" nuove persone. Tuttavia, prima o poi arriva il momento in cui quest'ultimo non riesce ad attrarre nessuno. Nel nostro caso, se immaginiamo che la classe sia isolata, la persona da chiude la catena (). Pertanto, se una persona fosse coinvolta in una piramide finanziaria in cui vengono dati soldi se portassi altri due partecipanti, allora la persona (o in generale) non porterebbe nessuno, rispettivamente, perderebbe tutto ciò che ha investito in questa truffa finanziaria .

Tutto ciò che è stato detto sopra si riferisce a una progressione geometrica decrescente o crescente, ma, come ricorderete, abbiamo un tipo speciale: una progressione geometrica infinitamente decrescente. Come calcolare la somma dei suoi membri? E perché questo tipo di progressione ha determinate caratteristiche? Scopriamolo insieme.

Quindi, per cominciare, diamo un'altra occhiata a questa immagine di una progressione geometrica infinitamente decrescente dal nostro esempio:

E ora diamo un'occhiata alla formula per la somma di una progressione geometrica, derivata poco prima:
O

Per cosa stiamo lottando? Esatto, il grafico mostra che tende a zero. Cioè, quando sarà quasi uguale, rispettivamente, quando calcoliamo l'espressione, otterremo quasi. A questo proposito, riteniamo che quando si calcola la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente, questa parentesi può essere trascurata, poiché sarà uguale.

- la formula è la somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente.

IMPORTANTE! Usiamo la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente solo se la condizione afferma esplicitamente che dobbiamo trovare la somma infinito il numero dei membri.

Se viene indicato un numero specifico n, allora utilizziamo la formula per la somma di n termini, anche se o.

E ora facciamo pratica.

Trova la somma dei primi termini di una progressione geometrica con e.
Trova la somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente con e.

Spero che tu sia stato molto attento. Confronta le nostre risposte:

Ora sai tutto sulla progressione geometrica ed è ora di passare dalla teoria alla pratica. I problemi esponenziali più comuni riscontrati nell'esame sono problemi di interesse composto. È di loro che parleremo.

Problemi per il calcolo dell'interesse composto.

Devi aver sentito parlare della cosiddetta formula dell'interesse composto. Capisci cosa intende? In caso contrario, scopriamolo, perché avendo realizzato il processo stesso, capirai immediatamente cosa c'entra la progressione geometrica.

Andiamo tutti in banca e sappiamo che esistono condizioni diverse per i depositi: questo è il termine, il mantenimento aggiuntivo e gli interessi con due diversi modi di calcolarli: semplice e complesso.

CON interesse semplice tutto è più o meno chiaro: gli interessi vengono addebitati una volta alla scadenza del periodo di deposito. Cioè, se parliamo di mettere sotto 100 rubli all'anno, verranno accreditati solo alla fine dell'anno. Di conseguenza, entro la fine del deposito riceveremo rubli.

Interesse compostoè un'opzione in cui capitalizzazione degli interessi, cioè. la loro aggiunta all'importo del deposito e il successivo calcolo del reddito non dall'importo iniziale, ma dall'importo accumulato del deposito. La capitalizzazione non avviene costantemente, ma con una certa periodicità. Di norma, tali periodi sono uguali e molto spesso le banche utilizzano un mese, un trimestre o un anno.

Diciamo che mettiamo tutti gli stessi rubli all'anno, ma con una capitalizzazione mensile del deposito. Cosa otteniamo?

Capisci tutto qui? In caso contrario, procediamo passo dopo passo.

Abbiamo portato i rubli in banca. Entro la fine del mese dovremmo avere sul nostro conto un importo composto dai nostri rubli più gli interessi su di essi, ovvero:

Essere d'accordo?

Possiamo toglierlo dalla parentesi e quindi otteniamo:

D'accordo, questa formula è già più simile a quella che abbiamo scritto all'inizio. Resta da trattare delle percentuali

Nelle condizioni del problema, ci viene detto dell'annuale. Come sai, non moltiplichiamo per: convertiamo le percentuali in decimali, ovvero:

Giusto? Ora ti chiedi: da dove viene il numero? Molto semplice!
Ripeto: la condizione del problema dice di ANNUALE interessi maturati MENSILE. Come sapete, tra un anno di mesi, la banca ci addebiterà rispettivamente una parte degli interessi annuali al mese:

Realizzato? Ora prova a scrivere come apparirebbe questa parte della formula se dicessi che gli interessi vengono calcolati quotidianamente.
Sei riuscito? Confrontiamo i risultati:

Ben fatto! Torniamo al nostro compito: annotiamo quanto verrà accreditato sul nostro conto per il secondo mese, tenendo conto che sull'importo del deposito accumulato vengono addebitati gli interessi.
Ecco cosa mi è successo:

O, in altre parole:

Penso che tu abbia già notato uno schema e visto una progressione geometrica in tutto questo. Scrivi quanto varrà il suo membro o, in altre parole, quanti soldi riceveremo alla fine del mese.
Fatto? Controllo!

Come puoi vedere, se metti soldi in banca per un anno con un interesse semplice, riceverai rubli e se li metti a un tasso composto, riceverai rubli. Il beneficio è piccolo, ma questo avviene solo durante il ventesimo anno, ma per un periodo più lungo la capitalizzazione è molto più redditizia:

Consideriamo un altro tipo di problemi di interesse composto. Dopo quello che hai capito, sarà elementare per te. Quindi il compito è:

Zvezda ha iniziato ad investire nel settore nel 2000 con un capitale in dollari. Ogni anno, dal 2001, ha realizzato un profitto pari al capitale dell'anno precedente. Quale profitto riceverà la società Zvezda alla fine del 2003 se il profitto non verrà ritirato dalla circolazione?

Il capitale della società Zvezda nel 2000.
- il capitale della società Zvezda nel 2001.
- il capitale della società Zvezda nel 2002.
- il capitale della società Zvezda nel 2003.

Oppure possiamo scrivere brevemente:

Per il nostro caso:

2000, 2001, 2002 e 2003.

Rispettivamente:
rubli
Nota che in questo problema non abbiamo una divisione né per né per, poiché la percentuale viene data ANNUALMENTE ed è calcolata ANNUALMENTE. Cioè, quando si legge il problema dell'interesse composto, prestare attenzione a quale percentuale viene fornita e in quale periodo viene addebitata, e solo successivamente procedere ai calcoli.
Ora sai tutto sulla progressione geometrica.

Formazione.

Trova un termine di una progressione geometrica se è noto che, e
Trova la somma dei primi termini di una progressione geometrica, se è nota, e
MDM Capital ha iniziato ad investire nel settore nel 2003 con un capitale in dollari. Ogni anno dal 2004 realizza un profitto pari al capitale dell'anno precedente. La società "MSK Cash Flows" ha iniziato ad investire nel settore nel 2005 per un importo di $ 10.000, iniziando a realizzare un profitto nel 2006 per un importo di. Di quanti dollari il capitale di un'impresa supera quello di un'altra alla fine del 2007, se i profitti non fossero ritirati dalla circolazione?

Risposte:

Poiché la condizione del problema non dice che la progressione è infinita ed è necessario trovare la somma di un numero specifico dei suoi membri, il calcolo viene eseguito secondo la formula:
Società "MDM Capital":
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- aumenta del 100%, cioè 2 volte.
Rispettivamente:
rubli
Flussi di cassa MSK:
2005, 2006, 2007.
- aumenta, cioè, di volte.
Rispettivamente:
rubli
rubli

Riassumiamo.

1) Una progressione geometrica ( ) è una sequenza numerica, il cui primo termine è diverso da zero, e ciascun termine, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero. Questo numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica.

2) L'equazione dei membri di una progressione geometrica -.

3) può assumere qualsiasi valore, eccetto e.

se, allora tutti i membri successivi della progressione hanno lo stesso segno: loro positivo;
se, allora tutti i membri successivi della progressione segni alternativi;
a - la progressione è chiamata infinitamente decrescente.

4) , at è una proprietà di una progressione geometrica (termini vicini)

O
, a (termini equidistanti)

Quando lo trovi, non dimenticarlo dovrebbero esserci due risposte..

Per esempio,

5) La somma dei membri di una progressione geometrica si calcola con la formula:
O

6) I compiti ad interesse composto sono calcolati anche secondo la formula dell'esimo membro di una progressione geometrica, a condizione che i fondi non siano stati ritirati dalla circolazione:

PROGRESSIONE GEOMETRICA. BREVEMENTE SULLA PRINCIPALE

Progressione geometrica( ) è una sequenza numerica, il cui primo termine è diverso da zero, e ogni termine, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero. Questo numero viene chiamato il denominatore di una progressione geometrica.

Denominatore di una progressione geometrica può assumere qualsiasi valore tranne e.

Se tutti i membri successivi della progressione hanno lo stesso segno, sono positivi;
se, allora tutti i successivi membri della progressione alternano segni;
a - la progressione è chiamata infinitamente decrescente.

Equazione dei membri di una progressione geometrica - .

La somma dei termini di una progressione geometrica calcolato con la formula:
O

Se la progressione è infinitamente decrescente, allora:

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Lezione correlata “Progressione geometrica infinitamente decrescente”

Lo scopo della lezione: introdurre gli studenti a un nuovo tipo di sequenza: una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Compiti:

formulazione dell'idea iniziale del limite della sequenza numerica; conoscenza di un altro modo per convertire infinite frazioni periodiche in frazioni ordinarie utilizzando la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente;

lo sviluppo delle qualità intellettuali della personalità degli scolari, come il pensiero logico, la capacità di azioni valutative, la generalizzazione;

educazione all'attività, mutua assistenza, collettivismo, interesse per la materia.

Attrezzatura: lezione di computer, proiettore, schermo.

Tipo di lezione: Lezione: padroneggiare un nuovo argomento.

Durante le lezioni

IO . Org. momento. Messaggio sull'argomento e lo scopo della lezione.

II . Aggiornamento delle conoscenze degli studenti.1. Controllo dei compiti.

1) Verifica delle formule fondamentali relative alle progressioni aritmetiche e geometriche. Due studenti scrivono formule alla lavagna.

2) Il resto degli studenti lo fa dettato matematico sull'argomento "Formule di somma".

Compiti:

№1. Trova la somma dei primi cinque membri di una progressione aritmetica se il suo primo membro è 6 (1a opzione), -20 (2a opzione) e il quinto membro è -6 (1a opzione), 20 (2a opzione).

№2. Trova la somma dei primi cinque termini di una progressione aritmetica se il suo primo termine è -20(1a opzione), 6(2a opzione) e la differenza è 10(1a opzione), -3(2a opzione).

№3. Trova la somma dei primi cinque termini di una progressione geometrica se il suo primo termine è 1(1a opzione), -1 (2a opzione) e il denominatore è -2(1a opzione), 2(2a opzione).

Al termine del dettato, selettivamente, il lavoro di due studenti viene controllato per la valutazione, gli altri eseguono un autoesame secondo soluzioni già pronte scritte sui risvolti della lavagna.

Soluzioni:

Compiti

1. La progressione aritmetica è data dalla formula UN N = 7 – 4 N. Trovare UN 10 . (-33)

2. Progressione aritmetica UN 3 = 7 E UN 5 = 1 . Trovare UN 4 . (4)

3. Progressione aritmetica UN 3 = 7 E UN 5 = 1 . Trovare UN 17 . (-35)

4. Progressione aritmetica UN 3 = 7 E UN 5 = 1 . Trovare S 17 . (-187)

5. Per una progressione geometrica
trova il quinto termine.

6. Per una progressione geometrica
Trovare N-esimo membro.

7. In modo esponenziale B 3 = 8 E B 5 = 2 . Trovare B 4 . (4)

8. In modo esponenziale B 3 = 8 E B 5 = 2 . Trovare B 1 E Q .

9. In modo esponenziale B 3 = 8 E B 5 = 2 . Trovare S 5 . (62)

III . Esplorare un nuovo argomento(presentazione dimostrativa).

Consideriamo un quadrato con lato uguale a 1. Disegniamo un altro quadrato, il cui lato è la metà del primo quadrato, poi un altro il cui lato è la metà del secondo, poi il successivo e così via. Ogni volta il lato del nuovo quadrato è la metà di quello precedente.

Di conseguenza, abbiamo una sequenza di lati di quadrati formando una progressione geometrica con denominatore .

E, cosa molto importante, più costruiamo tali quadrati, più piccolo sarà il lato del quadrato. Per esempio,

Quelli. all'aumentare del numero n i termini della progressione si avvicinano allo zero.

Con l'aiuto di questa figura si può considerare un'altra sequenza.

Ad esempio, la sequenza delle aree dei quadrati:

. E, ancora, se N aumenta indefinitamente, quindi l'area si avvicina arbitrariamente allo zero.

Consideriamo un altro esempio. Un triangolo equilatero con il lato di 1 cm. Costruiamo il prossimo triangolo con i vertici nei punti medi dei lati del primo triangolo, secondo il teorema della linea mediana del triangolo: il lato del 2o è uguale alla metà del lato del primo, il lato del 3o è la metà del lato di il 2, ecc. Ancora una volta otteniamo una sequenza di lunghezze dei lati dei triangoli.

A
.

Se consideriamo una progressione geometrica con denominatore negativo.

Poi, ancora, con numeri crescenti N i termini della progressione si avvicinano allo zero.

Prestiamo attenzione ai denominatori di queste sequenze. Ovunque i denominatori erano inferiori a 1 modulo.

Possiamo concludere: una progressione geometrica sarà infinitamente decrescente se il modulo del suo denominatore è inferiore a 1.

Lavoro frontale.

Definizione:

Una progressione geometrica si dice infinitamente decrescente se il modulo del suo denominatore è inferiore a uno.
.

Con l'aiuto della definizione è possibile risolvere la questione se una progressione geometrica è infinitamente decrescente oppure no.

Compito

La sequenza è una progressione geometrica infinitamente decrescente se è data dalla formula:

;
.

Soluzione:

. Cerchiamo Q .

;
;
;
.

questa progressione geometrica è infinitamente decrescente.

B) questa sequenza non è una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Considera un quadrato con un lato uguale a 1. Dividilo a metà, una delle metà ancora a metà e così via. le aree di tutti i rettangoli risultanti formano una progressione geometrica infinitamente decrescente:

La somma delle aree di tutti i rettangoli così ottenuti sarà pari all'area del 1° quadrato e pari a 1.

Ma sul lato sinistro di questa uguaglianza c'è la somma di un numero infinito di termini.

Consideriamo la somma dei primi n termini.

Secondo la formula per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica è uguale a .

Se N aumenta indefinitamente, quindi

O
. Ecco perché
, cioè.
.

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente c'è un limite di sequenza S 1 , S 2 , S 3 , …, S N , … .

Ad esempio, per una progressione
,

Perché

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente può essere trovato utilizzando la formula
.

III . Riflessione e consolidamento(completamento dei compiti).

Compito numero 2. Trova la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente con il primo termine 3, il secondo 0,3.

Soluzione:

Compito numero 3. libro di testo, pagina 160, n. 433(1)

Trova la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente:

Soluzione:

Compito numero 4. Scrivi la frazione decimale periodica infinita 0,(5) come frazione comune.

1° modo. Sia x = 0, (5) = 0,555 ... / 10 2° metodo. 0,(5)=0,555…=

Compito numero 5. libro di testo, pagina 162, n. 445(3) (decisione indipendente)

Scrivi la frazione decimale periodica infinita 0,(12) come frazione comune.

Risposta: 0,(12)=4/33.

IV . Riassumendo.

Quale sequenza hai incontrato oggi?

Definire una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Come dimostrare che una progressione geometrica è infinitamente decrescente?

Fornisci la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente.

V . Compiti a casa.

Consideriamo una serie.

7 28 112 448 1792...

È assolutamente chiaro che il valore di uno qualsiasi dei suoi elementi è esattamente quattro volte maggiore del precedente. Quindi questa serie è una progressione.

Una progressione geometrica è una sequenza infinita di numeri, la cui caratteristica principale è che il numero successivo si ottiene dal precedente moltiplicando per un numero specifico. Ciò è espresso dalla seguente formula.

a z +1 =a z q, dove z è il numero dell'elemento selezionato.

Di conseguenza, z ∈ N.

Il periodo in cui si studia una progressione geometrica a scuola è il grado 9. Gli esempi ti aiuteranno a capire il concetto:

0.25 0.125 0.0625...

In base a questa formula, il denominatore della progressione può essere trovato come segue:

Né q né bz possono essere zero. Inoltre, ciascuno degli elementi della progressione non dovrebbe essere uguale a zero.

Di conseguenza, per scoprire il numero successivo della serie, è necessario moltiplicare l'ultimo per q.

Per specificare questa progressione, è necessario specificarne il primo elemento e il denominatore. Successivamente è possibile trovare uno qualsiasi dei termini successivi e la loro somma.

Varietà

A seconda di q e a 1, questa progressione è divisa in diversi tipi:

Se sia a 1 che q sono maggiori di uno, allora tale sequenza è una progressione geometrica crescente con ogni elemento successivo. Un esempio di ciò è presentato di seguito.

Esempio: a 1 =3, q=2 - entrambi i parametri sono maggiori di uno.

Quindi la sequenza numerica può essere scritta in questo modo:

3 6 12 24 48 ...

Se |q| minore di uno, cioè la moltiplicazione per esso equivale alla divisione, allora una progressione con condizioni simili è una progressione geometrica decrescente. Un esempio di ciò è presentato di seguito.

Esempio: a 1 = 6, q=1/3 - a 1 è maggiore di uno, q è minore.

Allora la sequenza numerica può essere scritta come segue:

6 2 2/3 ... - qualsiasi elemento è 3 volte maggiore dell'elemento che lo segue.

Segno-variabile. Se q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Esempio: a 1 = -3 , q = -2 - entrambi i parametri sono minori di zero.

Quindi la sequenza può essere scritta in questo modo:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Per un comodo utilizzo delle progressioni geometriche, esistono molte formule:

Formula del membro z-esimo. Consente di calcolare l'elemento sotto un numero specifico senza calcolare i numeri precedenti.

Esempio:Q = 3, UN 1 = 4. Occorre calcolare il quarto elemento della progressione.

Soluzione:UN 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

La somma dei primi elementi il cui numero è z. Permette di calcolare la somma di tutti gli elementi di una sequenza fino auna zcompreso.

Dal (1-Q) è al denominatore, quindi (1 - q)≠ 0, quindi q non è uguale a 1.

Nota: se q=1, la progressione sarebbe una serie di numeri che si ripetono all'infinito.

La somma di una progressione geometrica, esempi:UN 1 = 2, Q= -2. Calcola S5 .

Soluzione:S 5 = 22 - calcolo tramite formula.

Importo se |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Esempio:UN 1 = 2 , Q= 0,5. Trova l'importo.

Soluzione:Taglia = 2 · = 4

Taglia = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Alcune proprietà:

immobile caratteristico. Se la seguente condizione eseguito per qualsiasiz, allora la serie numerica data è una progressione geometrica:

una z 2 = una z -1 · UNz+1

Inoltre, il quadrato di un numero qualsiasi di una progressione geometrica si trova sommando i quadrati di altri due numeri qualsiasi di una data serie, se sono equidistanti da questo elemento.

una z 2 = una z - T 2 + una z + T 2 , DoveTè la distanza tra questi numeri.

Elementidifferiscono in quna volta.
Anche i logaritmi degli elementi di progressione formano una progressione, ma già aritmetica, cioè ciascuno di essi è maggiore del precedente di un certo numero.

Esempi di alcuni problemi classici

Per capire meglio cos'è una progressione geometrica, possono aiutare degli esempi con una soluzione per il grado 9.

Condizioni:UN 1 = 3, UN 3 = 48. TrovaQ.

Soluzione: ogni elemento successivo è maggiore del precedente inQ una volta.È necessario esprimere alcuni elementi attraverso altri utilizzando un denominatore.

Quindi,UN 3 = Q 2 · UN 1

Durante la sostituzioneQ= 4

Condizioni:UN 2 = 6, UN 3 = 12. Calcola S 6 .

Soluzione:Per fare ciò è sufficiente trovare q, il primo elemento e sostituirlo nella formula.

UN 3 = Q· UN 2 , quindi,Q= 2

un2 = q un 1,Ecco perché un 1 = 3

S6= 189

· UN 1 = 10, Q= -2. Trova il quarto elemento della progressione.

Soluzione: per fare ciò è sufficiente esprimere il quarto elemento tramite il primo e tramite il denominatore.

un4 = q3· un 1 = -80

Esempio di applicazione:

Il cliente della banca ha effettuato un deposito per un importo di 10.000 rubli, secondo i termini del quale ogni anno il cliente ne aggiungerà il 6% all'importo principale. Quanti soldi ci saranno sul conto dopo 4 anni?

Soluzione: l'importo iniziale è di 10 mila rubli. Quindi, un anno dopo l'investimento, il conto avrà un importo pari a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Di conseguenza, l’importo sul conto dopo un altro anno sarà espresso come segue:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Cioè, ogni anno l'importo aumenta di 1,06 volte. Ciò significa che per trovare l'importo dei fondi presenti sul conto dopo 4 anni è sufficiente trovare il quarto elemento della progressione, che è dato dal primo elemento pari a 10mila, e il denominatore pari a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Esempi di attività per il calcolo della somma:

In vari problemi viene utilizzata una progressione geometrica. Un esempio per trovare la somma può essere dato come segue:

UN 1 = 4, Q= 2, calcolaS5.

Soluzione: tutti i dati necessari per il calcolo sono noti, basta sostituirli nella formula.

S 5 = 124

UN 2 = 6, UN 3 = 18. Calcola la somma dei primi sei elementi.

Soluzione:

Geom. progressione, ogni elemento successivo è q volte maggiore del precedente, cioè per calcolare la somma è necessario conoscere l'elementoUN 1 e denominatoreQ.

UN 2 · Q = UN 3

Q = 3

Allo stesso modo, dobbiamo trovareUN 1 , sapendoUN 2 EQ.

UN 1 · Q = UN 2

un 1 =2

S 6 = 728.

Anna Malkova

Progressione geometricaè una sequenza, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al prodotto del membro precedente e di un numero fisso q:

numero fisso Qè detto denominatore di una progressione geometrica.

Formula dell'ennesimo membro di una progressione geometrica:

La formula per la somma dei primi membri di una progressione geometrica si calcola con la formula:

Il quadrato di ciascun membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei suoi vicini:

1. Le alghe crescono sulla superficie del lago. Durante il giorno, ogni alga viene divisa a metà e invece di un'alga ne compaiono due. Dopo un altro giorno, ciascuna alga risultante viene divisa a metà e così via. Dopo 30 giorni il lago era completamente ricoperto di alghe. Dopo quanto tempo il lago era mezzo pieno?

La risposta è paradossale: dopo 29 giorni.

È meglio risolvere questo problema "dalla fine". Ecco un lago pieno di alghe. Cosa è successo un giorno fa? Ovviamente c'erano la metà delle alghe, cioè il lago ne era coperto per metà.

Ogni giorno le alghe nel lago diventavano il doppio, cioè il loro numero aumentava esponenzialmente.

2. USO) L'uomo d'affari Bublikov ha ricevuto nel 2000 un profitto di 5.000 rubli. Ogni anno successivo, il suo profitto aumentava del 300% rispetto all'anno precedente. Quanti rubli ha guadagnato Bublikov nel 2003?

Il profitto di Bublikov era piccolo nel 2000. Ma ogni anno il profitto aumentava del 300%, cioè 4 volte rispetto all'anno precedente. Progressione geometrica! Stiamo cercando il suo quarto membro:

3. (Problema dell'esame di stato unificato) Alfa ha iniziato a investire in un settore promettente nel 2001 con un capitale di $ 3.000. Ogni anno, dal 2002, ha realizzato un profitto pari al 100% del capitale dell'anno precedente. E Beta ha iniziato a investire in un altro settore nel 2003 con un capitale di 6.000 dollari, e dal 2004 ha realizzato un rendimento annuo pari al 200% del capitale dell'anno precedente. Di quanti dollari il capitale di una delle società superava quello dell'altra entro la fine del 2006, se il profitto non veniva ritirato dalla circolazione?

Definiamo i concetti base del problema.

Capitale aziendale- la somma totale di tutti i fondi a disposizione della società.

Profitto- la differenza tra entrate e spese (costi).

Se nel 2002 l'utile della società Alpha è pari al 100% del capitale dell'anno precedente, il capitale della società Alpha è raddoppiato in un anno. Allo stesso modo, il capitale dell'Alfa è raddoppiato nel 2003, 2004, 2005 e 2006, cioè nel 2006 ammontava a migliaia di dollari.

Il capitale della società "Beta" aumenta ogni anno di 3 volte. Nel 2006 è aumentato di parecchie volte rispetto al 2003 e ammontava a dollari.

Si tratta di 66mila dollari in più rispetto al capitale della società Alpha.

Progressione geometrica infinitamente decrescente

Una progressione geometrica il cui denominatore è |q|<1, называется бесконечно убывающей.

Un esempio di progressione geometrica infinitamente decrescente.

Qual è la sua somma?

Disegniamo un rettangolo con un'area di 1. Aggiungiamo ad esso aree con un'area

A cosa tende l’area della figura risultante con un aumento infinito di n, cioè con l’aggiunta di aree sempre più piccole? Ovviamente due.

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente è un numero che si trova dalla formula:

C'è un aneddoto così matematico e ora lo capirai.

Un numero infinito di matematici entra in un bar. Il primo dice: “Voglio un bicchiere di birra!” Secondo: "Prendo mezzo bicchiere di birra!" Terzo: "Prendo un quarto di birra!" Quarto: "Io boccali di birra!" Barista: "Aspetta un attimo... conosco i tuoi trucchi: hai due boccali di birra per tutti!"

UTILIZZARE le attività per una soluzione indipendente

1. L'uomo d'affari Korovin ha ricevuto nel 2000 un profitto di 1.400.000 rubli. Ogni anno successivo, il suo profitto aumentava del 20% rispetto all'anno precedente. Quanti rubli è stato il profitto di Korovin per il 2004?

2. Alpha ha iniziato a investire in un settore promettente nel 2001 con un capitale di 4.000 dollari. Ogni anno, dal 2002, ha realizzato un profitto pari al 100% del capitale dell'anno precedente. E Beta ha iniziato a investire in un altro settore nel 2004 con un capitale di 4.500 dollari, e dal 2005 ha realizzato un rendimento annuo pari al 200% del capitale dell'anno precedente. Di quanti dollari il capitale di una delle società superava quello dell'altra entro la fine del 2007, se il profitto non veniva ritirato dalla circolazione?

Risposta: 2 903 040
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