Equazioni quadratiche. Discriminante. Soluzione, esempi.

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Ce ne sono altri
materiale nella Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per chi "moltissimo...")

Tipi di equazioni quadratiche

Cos'è un'equazione quadratica? Che cosa sembra? In termini equazione quadrata la parola chiave è "piazza". Significa che nell'equazione Necessariamente deve esserci una x al quadrato. Oltre a ciò, nell'equazione potrebbero esserci (o potrebbero non esserci!) Solo x (al primo grado) e solo un numero (membro gratuito). E non dovrebbero esserci x di grado maggiore di due.

In termini matematici, un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

Qui a, b e c- alcuni numeri. b e c- assolutamente qualsiasi, ma UN- tutt'altro che zero. Per esempio:

Qui UN =1; B = 3; C = -4

Qui UN =2; B = -0,5; C = 2,2

Qui UN =-3; B = 6; C = -18

Beh, hai capito...

In queste equazioni quadratiche, a sinistra, c'è set completo membri. x al quadrato con coefficiente UN, x alla prima potenza con coefficiente B E membro gratuito di

Tali equazioni quadratiche sono chiamate completare.

E se B= 0, cosa otterremo? Abbiamo X scomparirà di primo grado. Ciò accade moltiplicando per zero.) Risulta, ad esempio:

5x2-25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x2+4x=0

E così via. E se entrambi i coefficienti B E C sono uguali a zero, allora è ancora più semplice:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x2 \u003d 0

Tali equazioni, in cui manca qualcosa, vengono chiamate equazioni quadratiche incomplete. Il che è abbastanza logico.) Tieni presente che x al quadrato è presente in tutte le equazioni.

A proposito, perché UN non può essere zero? E invece sostituisci UN zero.) La X nel quadrato scomparirà! L'equazione diventerà lineare. Ed è fatto diversamente...

Questi sono tutti i principali tipi di equazioni quadratiche. Completo e incompleto.

Soluzione di equazioni quadratiche.

Soluzione di equazioni quadratiche complete.

Le equazioni quadratiche sono facili da risolvere. Secondo formule e regole semplici e chiare. Nella prima fase, è necessario riportare l'equazione data nella forma standard, ad es. alla vista:

Se l'equazione ti è già stata fornita in questa forma, non è necessario eseguire la prima fase.) La cosa principale è determinare correttamente tutti i coefficienti, UN, B E C.

La formula per trovare le radici di un'equazione quadratica è simile alla seguente:

Si chiama l'espressione sotto il segno della radice discriminante. Ma di più su di lui di seguito. Come puoi vedere, per trovare x, usiamo solo a, b e c. Quelli. coefficienti dell'equazione quadratica. Sostituisci semplicemente i valori con attenzione a, b e c in questa formula e contare. Sostituire con i tuoi segni! Ad esempio, nell'equazione:

UN =1; B = 3; C= -4. Qui scriviamo:

Esempio quasi risolto:

Questa è la risposta.

Tutto è molto semplice. E tu cosa ne pensi, non puoi sbagliare? Ebbene sì, come...

Gli errori più comuni sono la confusione con i segni dei valori a, b e c. O meglio, non con i loro segni (dove c'è da confondersi?), Ma con la sostituzione dei valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui viene salvata una registrazione dettagliata della formula con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, allora fallo!

Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:

Qui UN = -6; B = -5; C = -1

Diciamo che sai che raramente ottieni risposte la prima volta.

Beh, non essere pigro. Ci vorranno 30 secondi per scrivere una riga in più e il numero di errori calerà bruscamente. Quindi scriviamo nel dettaglio, con tutte le parentesi e i segni:

Sembra incredibilmente difficile dipingere con tanta attenzione. Ma sembra solo. Provalo. Bene, o scegli. Cos'è meglio, veloce o giusto? Inoltre, ti renderò felice. Dopo un po' non sarà più necessario dipingere tutto con tanta attenzione. Andrà tutto bene. Soprattutto se applichi le tecniche pratiche, descritte di seguito. Questo malvagio esempio con un sacco di svantaggi sarà risolto facilmente e senza errori!

Ma, spesso, le equazioni quadratiche sembrano leggermente diverse. Ad esempio, in questo modo:

Lo sapevate?) Sì! Questo equazioni quadratiche incomplete.

Soluzione di equazioni quadratiche incomplete.

Possono anche essere risolti con la formula generale. Devi solo capire correttamente cosa è uguale qui a, b e c.

Realizzato? Nel primo esempio un = 1; b = -4; UN C? Non esiste affatto! Ebbene sì, è vero. In matematica, questo significa questo c = 0 ! È tutto. Sostituisci zero nella formula invece di C, e tutto funzionerà per noi. Allo stesso modo con il secondo esempio. Solo zero non abbiamo qui Con, UN B !

Ma le equazioni quadratiche incomplete possono essere risolte molto più facilmente. Senza alcuna formula. Consideriamo la prima equazione incompleta. Cosa si può fare sul lato sinistro? Puoi togliere la X dalle parentesi! Tiriamolo fuori.

E da questo? E il fatto che il prodotto sia uguale a zero se, e solo se uno qualsiasi dei fattori è uguale a zero! Non ci credi? Bene, allora trova due numeri diversi da zero che, una volta moltiplicati, daranno zero!
Non funziona? Qualcosa...
Pertanto possiamo tranquillamente scrivere: x1 = 0, x2 = 4.

Tutto. Queste saranno le radici della nostra equazione. Entrambi si adattano. Sostituendo uno qualsiasi di essi nell'equazione originale, otteniamo l'identità corretta 0 = 0. Come puoi vedere, la soluzione è molto più semplice della formula generale. Noto, a proposito, quale X sarà il primo e quale il secondo: è assolutamente indifferente. Facile da scrivere in ordine x1- qualunque sia il minore x2- ciò che è di più.

Anche la seconda equazione può essere facilmente risolta. Spostiamo 9 sul lato destro. Noi abbiamo:

Resta da estrarre la radice da 9, e il gioco è fatto. Ottenere:

anche due radici . x1 = -3, x2 = 3.

Ecco come vengono risolte tutte le equazioni quadratiche incomplete. O togliendo X dalle parentesi, o semplicemente trasferendo il numero a destra, seguito dall'estrazione della radice.
È estremamente difficile confondere questi metodi. Semplicemente perché nel primo caso dovrai estrarre la radice da X, il che è in qualche modo incomprensibile, e nel secondo caso non c'è niente da togliere tra parentesi ...

Discriminante. Formula discriminante.

parola magica discriminante ! Uno studente delle scuole superiori raro non ha sentito questa parola! La frase “decidere attraverso il discriminante” è rassicurante e rassicurante. Perché non c'è bisogno di aspettare i trucchi del discriminante! È semplice e senza problemi da usare.) Ti ricordo la formula più generale per la risoluzione Qualunque equazioni quadratiche:

L'espressione sotto il segno della radice è chiamata discriminante. Il discriminante è solitamente indicato con la lettera D. Formula discriminante:

D = b2 - 4ac

E cosa c'è di così speciale in questa espressione? Perché merita un nome speciale? Che cosa significato del discriminante? Dopotutto -B, O 2a in questa formula non nominano specificamente ... Lettere e lettere.

Il punto è questo. Quando si risolve un'equazione quadratica utilizzando questa formula, è possibile soli tre casi.

1. Il discriminante è positivo. Ciò significa che puoi estrarre la radice da esso. Se la radice venga estratta bene o male è un'altra questione. È importante ciò che viene estratto in linea di principio. Allora la tua equazione quadratica ha due radici. Due soluzioni diverse.

2. Il discriminante è zero. Allora hai una soluzione. Poiché aggiungere o sottrarre zero al numeratore non cambia nulla. A rigor di termini, questa non è una radice singola, ma due identici. Ma, in una versione semplificata, è consuetudine parlarne una soluzione.

3. Il discriminante è negativo. Un numero negativo non ottiene la radice quadrata. Allora ok. Ciò significa che non ci sono soluzioni.

Ad essere onesti, con una semplice soluzione di equazioni quadratiche, il concetto di discriminante non è realmente richiesto. Sostituiamo i valori dei coefficienti nella formula e consideriamo. Lì tutto risulta da solo, e due radici, e una, e non una sola. Tuttavia, quando si risolvono compiti più complessi, senza conoscenza significato e formula discriminante non abbastanza. Soprattutto - nelle equazioni con parametri. Tali equazioni sono acrobazie per il GIA e l'Esame di Stato Unificato!)

COSÌ, come risolvere equazioni quadratiche attraverso il discriminante che ricordavi. O imparato, il che non è male.) Sai come identificare correttamente a, b e c. Sai come attentamente sostituiscili nella formula radice e attentamente contare il risultato. Hai capito che la parola chiave qui è: attentamente?

Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori. Proprio quelli che sono dovuti alla disattenzione... Per i quali poi è doloroso e offensivo...

Primo ricevimento . Non essere pigro prima di risolvere un'equazione quadratica per portarla in una forma standard. Cosa significa questo?
Supponiamo che, dopo ogni trasformazione, si ottenga la seguente equazione:

Non abbiate fretta di scrivere la formula delle radici! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c. Costruisci l'esempio correttamente. Prima x^2, poi senza quadrato, poi un membro libero. Come questo:

E ancora, non abbiate fretta! Il meno prima della x al quadrato può turbarti molto. Dimenticarlo è facile... Sbarazzati del meno. Come? Sì, come insegnato nell'argomento precedente! Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:

E ora puoi tranquillamente scrivere la formula per le radici, calcolare il discriminante e completare l'esempio. Decidi tu stesso. Dovresti ritrovarti con le radici 2 e -1.

Secondo ricevimento. Controlla le tue radici! Secondo il teorema di Vieta. Non preoccuparti, ti spiegherò tutto! Controllo ultima cosa l'equazione. Quelli. quello con cui abbiamo scritto la formula delle radici. Se (come in questo esempio) il coefficiente un = 1, controlla facilmente le radici. È sufficiente moltiplicarli. Dovresti ottenere un termine gratuito, ad es. nel nostro caso -2. Attenzione, non 2, ma -2! membro gratuito con il tuo segno . Se non ha funzionato, significa che hanno già sbagliato da qualche parte. Cerca un errore.

Se ha funzionato, devi piegare le radici. Ultimo e definitivo controllo. Dovrebbe essere un rapporto B Con opposto cartello. Nel nostro caso -1+2 = +1. Un coefficiente B, che è prima della x, è uguale a -1. Quindi è tutto giusto!
È un peccato che sia così semplice solo per gli esempi in cui x al quadrato è puro, con un coefficiente un = 1. Ma almeno controlla tali equazioni! Ci saranno meno errori.

Terzo ricevimento . Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplica l'equazione per il denominatore comune come descritto nella lezione "Come risolvere le equazioni? Trasformazioni di identità". Quando si lavora con le frazioni, gli errori, per qualche motivo, salgono...

A proposito, ho promesso di semplificare un esempio malvagio con un sacco di svantaggi. Per favore! Eccolo.

Per non confonderci con i meno, moltiplichiamo l'equazione per -1. Noi abbiamo:

È tutto! Decidere è divertente!

Quindi ricapitoliamo l'argomento.

Consigli pratici:

1. Prima di risolvere, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard, costruiamola Giusto.

2. Se davanti alla x del quadrato c'è un coefficiente negativo, lo eliminiamo moltiplicando l'intera equazione per -1.

3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il fattore corrispondente.

4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata utilizzando il teorema di Vieta. Fallo!

Ora puoi decidere.)

Risolvi le equazioni:

8x2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Risposte (in disordine):

x1 = 0
x2 = 5

x1,2 =2

x1 = 2
x2 \u003d -0,5

x - qualsiasi numero

x1 = -3
x2 = 3

nessuna soluzione

x1 = 0,25
x2 \u003d 0,5

Va tutto bene? Grande! Le equazioni quadratiche non sono il tuo mal di testa. I primi tre si sono rivelati, ma il resto no? Allora il problema non è nelle equazioni quadratiche. Il problema sta nelle trasformazioni identiche delle equazioni. Dai un'occhiata al link, è utile.

Non funziona del tutto? Oppure non funziona affatto? Allora ti aiuterà la Sezione 555. Lì tutti questi esempi sono ordinati per ossa. Mostrando principale errori nella soluzione. Naturalmente viene descritta anche l'applicazione di trasformazioni identiche nella risoluzione di varie equazioni. Aiuta molto!

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Questo argomento può sembrare complicato a prima vista a causa delle molte formule non così semplici. Non solo le equazioni quadratiche stesse hanno voci lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. Ci sono tre nuove formule in totale. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale dell'equazione quadratica

Qui viene proposta la loro notazione esplicita, quando viene scritto prima il grado più grande e poi in ordine discendente. Spesso ci sono situazioni in cui i termini si distinguono. Allora è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente rispetto al grado della variabile.

Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche si riducono alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Lascia che questa formula sia indicata con il numero uno.

Quando viene data l'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché è sempre possibile una delle tre opzioni:

la soluzione avrà due radici;
la risposta sarà un numero;
L'equazione non ha alcuna radice.

E mentre la decisione non viene portata a termine, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.

Tipi di record di equazioni quadratiche

Le attività possono avere voci diverse. Non assomiglieranno sempre alla formula generale di un'equazione quadratica. A volte mancheranno alcuni termini. Quanto scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcosa di diverso. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre possono scomparire solo i termini per i quali i coefficienti "b" e "c". Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli completi, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Lascia che la prima formula sia la numero due e la seconda la numero tre.

Il discriminante e la dipendenza del numero di radici dal suo valore

Questo numero deve essere noto per poter calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per calcolare il discriminante è necessario utilizzare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, la risposta all'equazione sarà costituita da due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Se è uguale a zero, la risposta sarà uno.

Come si risolve un'equazione quadratica completa?

In effetti, l'esame di questo problema è già iniziato. Perché prima bisogna trovare il discriminante. Dopo aver chiarito che esistono radici dell'equazione quadratica e che il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare una formula del genere.

Poiché contiene il segno “±”, ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto la formula può essere riscritta in modo diverso.

Formula cinque. Dalla stessa registrazione si vede che se il discriminante è zero allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la soluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora elaborata, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all’inizio c’è confusione.

Come si risolve un'equazione quadratica incompleta?

Qui è tutto molto più semplice. Anche non sono necessarie formule aggiuntive. E non avrai bisogno di quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto.

Innanzitutto, considera l'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza, si suppone che si tolga il valore sconosciuto dalla parentesi e si risolva l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un fattore costituito dalla variabile stessa. La seconda si ottiene risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta al numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'equazione a quello destro. Quindi devi dividere per il coefficiente davanti all'ignoto. Resta solo da estrarre la radice quadrata e non dimenticare di scriverla due volte con segni opposti.

Di seguito sono riportate alcune azioni che ti aiutano a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti a disattenzione. Queste carenze sono la causa dei voti bassi nello studio dell'ampio argomento "Equazioni quadriche (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere eseguite costantemente. Perché ci sarà un'abitudine stabile.

Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, e poi - senza grado e l'ultimo - solo un numero.

Se prima del coefficiente "a" appare un segno meno, lo studio delle equazioni quadratiche può complicare il lavoro per un principiante. È meglio liberarsene. A questo scopo tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per "-1". Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno in senso opposto.

Allo stesso modo, si consiglia di eliminare le frazioni. Moltiplica semplicemente l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 - 7x \u003d 0. È incompleta, quindi viene risolta come descritto per la formula numero due.

Dopo il parentesi, risulta: x (x - 7) \u003d 0.

La prima radice assume il valore: x 1 \u003d 0. La seconda sarà trovata dall'equazione lineare: x - 7 \u003d 0. È facile vedere che x 2 \u003d 7.

Seconda equazione: 5x2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che viene risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno numeri: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Terza equazione: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Qui e sotto, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole in una forma standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Ora è il momento di utilizzare la seconda consiglio utile e moltiplicare tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Secondo la quarta formula, è necessario calcolare il discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. È a numero positivo. Da quanto detto sopra risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati secondo la quinta formula. Secondo esso, risulta che x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x \u003d 0 viene convertita in questa: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questa attività sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante, si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, vale a dire: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede trasformazioni, che consistono nel fatto che è necessario riportare termini simili, prima di aprire le parentesi. Al posto della prima ci sarà questa espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato i termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 - x \u003d 0. È diventato incompleto . Simile a questo è già stato considerato un po 'più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.

Spero che dopo aver studiato questo articolo imparerai come trovare le radici di un'equazione quadratica completa.

Con l'aiuto del discriminante si risolvono solo le equazioni quadratiche complete; per risolvere le equazioni quadratiche incomplete si utilizzano altri metodi, che troverete nell'articolo "Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete".

Quali equazioni quadratiche sono chiamate complete? Questo equazioni della forma ax 2 + b x + c = 0, dove i coefficienti a, b e c non sono uguali a zero. Quindi, per risolvere l'equazione quadratica completa, è necessario calcolare il discriminante D.

D \u003d b 2 - 4as.

A seconda del valore del discriminante, scriveremo la risposta.

Se il discriminante è un numero negativo (D< 0),то корней нет.

Se il discriminante è zero, allora x \u003d (-b) / 2a. Quando il discriminante è un numero positivo (D > 0),

allora x 1 = (-b - √D)/2a e x 2 = (-b + √D)/2a.

Per esempio. risolvere l'equazione x2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Risposta: 2.

Risolvi l'equazione 2 x2 +x+3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Risposta: nessuna radice.

Risolvi l'equazione 2 x2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Risposta: - 3,5; 1.

Immaginiamo quindi la soluzione di equazioni quadratiche complete secondo lo schema in Figura 1.

Queste formule possono essere utilizzate per risolvere qualsiasi equazione quadratica completa. Devi solo stare attento l'equazione è stata scritta come un polinomio di forma standard

UN x2 + bx + c, altrimenti potresti commettere un errore. Ad esempio, scrivendo l'equazione x + 3 + 2x 2 = 0, potresti erroneamente decidere che

a = 1, b = 3 e c = 2. Quindi

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 e quindi l'equazione ha due radici. E questo non è vero. (Vedi la soluzione dell'esempio 2 sopra).

Pertanto, se l’equazione non si scrive come un polinomio della forma standard, occorre prima scrivere l’equazione quadratica completa come un polinomio della forma standard (in primo luogo dovrebbe esserci un monomio con esponente maggiore, cioè UN x2 , quindi con meno – bx, e poi il termine libero Con.

Quando si risolve l'equazione quadratica sopra e l'equazione quadratica con un coefficiente pari per il secondo termine, è possibile utilizzare anche altre formule. Facciamo conoscenza con queste formule. Se nell'equazione quadratica completa con il secondo termine il coefficiente è pari (b = 2k), allora l'equazione può essere risolta utilizzando le formule mostrate nel diagramma di Figura 2.

Un'equazione quadratica completa si dice ridotta se il coefficiente è pari a x2 è uguale all'unità e l'equazione assume la forma x2+px+q=0. Tale equazione può essere data da risolvere o ottenuta dividendo tutti i coefficienti dell'equazione per il coefficiente UN stando a x2 .

La Figura 3 mostra uno schema della soluzione del quadrato ridotto
equazioni. Considera l'esempio dell'applicazione delle formule discusse in questo articolo.

Esempio. risolvere l'equazione

3x2 + 6x - 6 = 0.

Risolviamo questa equazione utilizzando le formule mostrate nella Figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Risposta: -1 - √3; –1 + √3

Puoi vedere che il coefficiente in x in questa equazione è un numero pari, cioè b \u003d 6 oppure b \u003d 2k, da cui k \u003d 3. Quindi proviamo a risolvere l'equazione utilizzando le formule mostrate nel diagramma della figura D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Risposta: -1 - √3; –1 + √3. Notando che tutti i coefficienti di questa equazione quadratica sono divisibili per 3 e dividendo, otteniamo l'equazione quadratica ridotta x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Risolviamo questa equazione utilizzando le formule per la quadratica ridotta
equazioni figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Risposta: -1 - √3; –1 + √3.

Come puoi vedere, risolvendo questa equazione utilizzando formule diverse, abbiamo ottenuto la stessa risposta. Pertanto, avendo padroneggiato bene le formule mostrate nel diagramma della Figura 1, puoi sempre risolvere qualsiasi equazione quadratica completa.

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Le equazioni quadratiche compaiono spesso durante la risoluzione di vari problemi di fisica e matematica. In questo articolo considereremo come risolvere queste uguaglianze in modo universale “attraverso il discriminante”. Nell'articolo sono forniti anche esempi di utilizzo delle conoscenze acquisite.

Di quali equazioni stiamo parlando?

La figura seguente mostra una formula in cui x è una variabile sconosciuta e i caratteri latini a, b, c rappresentano alcuni numeri noti.

Ciascuno di questi simboli è chiamato coefficiente. Come puoi vedere, il numero "a" è davanti alla variabile x al quadrato. Questa è la potenza massima dell'espressione rappresentata, motivo per cui viene chiamata equazione quadratica. Viene spesso utilizzato un altro nome: equazione del secondo ordine. Il valore a stesso è un coefficiente quadrato (quadratura della variabile), b è un coefficiente lineare (è accanto alla variabile elevata alla prima potenza) e infine il numero c è un termine libero.

Si noti che la forma dell'equazione mostrata nella figura sopra è un'espressione quadratica classica generale. Oltre a ciò, ci sono altre equazioni del secondo ordine in cui i coefficienti b, c possono essere zero.

Quando il compito è risolvere l'uguaglianza in esame, ciò significa che è necessario trovare valori della variabile x tali da soddisfarla. La prima cosa da ricordare è la seguente: poiché la potenza massima di x è 2, questo tipo di espressione non può avere più di 2 soluzioni. Ciò significa che se, durante la risoluzione dell'equazione, venissero trovati 2 valori x che la soddisfano, allora puoi essere sicuro che non esiste un 3o numero, sostituendo quale invece di x, anche l'uguaglianza sarebbe vera. Le soluzioni di un'equazione in matematica sono chiamate radici.

Metodi per risolvere equazioni del secondo ordine

Per risolvere equazioni di questo tipo è necessaria la conoscenza di alcune teorie su di esse. Nel corso scolastico di algebra vengono considerati 4 diversi metodi di soluzione. Li elenchiamo:

utilizzando la fattorizzazione;
utilizzando la formula del quadrato perfetto;
applicando il grafico della corrispondente funzione quadratica;
utilizzando l’equazione discriminante.

Il vantaggio del primo metodo è la sua semplicità, tuttavia non può essere applicato a tutte le equazioni. Il secondo metodo è universale, ma alquanto complicato. Il terzo metodo si distingue per la sua chiarezza, ma non è sempre conveniente e applicabile. Infine, l'uso dell'equazione discriminante è un modo universale e abbastanza semplice per trovare le radici di qualsiasi equazione del secondo ordine. Pertanto, nell'articolo lo considereremo solo.

Formula per ottenere le radici dell'equazione

Passiamo alla forma generale dell'equazione quadratica. Scriviamolo: a*x²+ b*x + c =0. Prima di utilizzare il metodo di risoluzione “attraverso il discriminante”, l’uguaglianza dovrebbe sempre essere ridotta alla forma scritta. Cioè, deve essere composto da tre termini (o meno se b o c è 0).

Ad esempio, se c'è un'espressione: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², allora dovresti prima trasferire tutti i suoi membri su un lato dell'uguaglianza e aggiungere i termini contenenti la variabile x nello stesso poteri.

In questo caso, questa operazione porterà alla seguente espressione: -6*x²-4*x+8=0, che equivale all'equazione 6*x²+4*x-8=0 (qui abbiamo moltiplicato la parte sinistra e i lati destri dell'equazione per -1) .

Nell'esempio sopra, a = 6, b=4, c=-8. Si noti che tutti i termini dell'uguaglianza considerata sono sempre sommati tra loro, quindi se compare il segno "-" significa che il coefficiente corrispondente è negativo, come il numero c in questo caso.

Analizzato questo punto, passiamo ora alla formula stessa, che permette di ottenere le radici di un'equazione quadratica. Sembra la foto qui sotto.

Come si può vedere da questa espressione, permette di ottenere due radici (attenzione al segno "±"). Per fare ciò è sufficiente sostituire i coefficienti b, c e a.

Il concetto di discriminante

Nel paragrafo precedente è stata fornita una formula che consente di risolvere rapidamente qualsiasi equazione del secondo ordine. In esso, l'espressione radicale è chiamata discriminante, cioè D \u003d b²-4 * a * c.

Perché viene individuata questa parte della formula e ha anche un nome proprio? Il fatto è che il discriminante collega tutti e tre i coefficienti dell'equazione in un'unica espressione. Quest'ultimo fatto significa che porta completamente informazioni sulle radici, che possono essere espresse dal seguente elenco:

D>0: l'uguaglianza ha 2 soluzioni diverse, entrambe numeri reali.
D=0: L'equazione ha una sola radice ed è un numero reale.

Il compito di determinare il discriminante

Ecco un semplice esempio di come trovare il discriminante. Sia data la seguente uguaglianza: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Portiamolo alla forma standard, otteniamo: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, da cui arriviamo all'uguaglianza : -2*x² +2*x-11 = 0. Qui a=-2, b=2, c=-11.

Ora puoi utilizzare la formula denominata per il discriminante: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Il numero risultante è la risposta all'attività. Poiché il discriminante nell'esempio è minore di zero, possiamo dire che questa equazione quadratica non ha radici reali. La sua soluzione sarà costituita solo da numeri di tipo complesso.

Un esempio di disuguaglianza attraverso il discriminante

Risolviamo problemi di tipo leggermente diverso: è data l'uguaglianza -3*x²-6*x+c = 0. È necessario trovare tali valori di c per i quali D>0.

In questo caso si conoscono solo 2 coefficienti su 3, quindi non sarà possibile calcolare il valore esatto del discriminante, ma si sa che è positivo. Usiamo l'ultimo fatto quando compiliamo la disuguaglianza: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. La soluzione della disuguaglianza ottenuta porta al risultato: c>-3.

Controlliamo il numero risultante. Per fare ciò, calcoliamo D per 2 casi: c=-2 e c=-4. Il numero -2 soddisfa il risultato (-2>-3), il discriminante corrispondente avrà valore: D = 12>0. A sua volta, il numero -4 non soddisfa la disuguaglianza (-4Pertanto, qualsiasi numero c maggiore di -3 soddisferà la condizione.

Un esempio di risoluzione di un'equazione

Ecco un problema che consiste non solo nel trovare il discriminante, ma anche nel risolvere l'equazione. È necessario trovare le radici dell'uguaglianza -2*x²+7-9*x = 0.

In questo esempio, il discriminante è pari al seguente valore: D = 81-4*(-2)*7= 137. Quindi le radici dell'equazione vengono determinate come segue: x = (9±√137)/(- 4). Questi sono i valori esatti delle radici, se calcoli approssimativamente la radice, otterrai i numeri: x \u003d -5,176 e x \u003d 0,676.

problema geometrico

Risolviamo un problema che richiederà non solo la capacità di calcolare il discriminante, ma anche l'uso di capacità di pensiero astratto e la conoscenza di come scrivere equazioni quadratiche.

Bob aveva un piumone di 5 x 4 metri. Il ragazzo voleva cucire una striscia continua di bellissimo tessuto attorno all'intero perimetro. Quanto sarà spessa questa striscia se si sa che Bob ha 10 m² di tessuto.

Lasciamo che la striscia abbia uno spessore di x m, quindi l'area del tessuto lungo il lato lungo della coperta sarà (5 + 2 * x) * x, e poiché ci sono 2 lati lunghi, avremo: 2 *x* (5+2*x). Sul lato corto l'area del tessuto cucito sarà 4*x, poiché ci sono 2 di questi lati, otteniamo il valore 8*x. Nota che 2*x è stato aggiunto al lato lungo perché la lunghezza della trapunta è aumentata di quel numero. La superficie totale del tessuto cucito sulla coperta è di 10 m². Pertanto, otteniamo l'uguaglianza: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

In questo esempio il discriminante è: D = 18²-4*4*(-10) = 484. La sua radice è 22. Utilizzando la formula, troviamo le radici desiderate: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Ovviamente delle due radici solo la cifra 0,5 è adatta alla condizione del problema.

Pertanto, la striscia di tessuto che Bob cuce sulla sua coperta sarà larga 50 cm.

In un modo più semplice. Per fare ciò, togli z dalle parentesi. Ottieni: z(az + b) = 0. I fattori possono essere scritti: z=0 e az + b = 0, poiché entrambi possono dare come risultato zero. Nella notazione az + b = 0 spostiamo la seconda a destra con segno diverso. Da qui otteniamo z1 = 0 e z2 = -b/a. Queste sono le radici dell'originale.

Se esiste un'equazione incompleta nella forma az² + c \u003d 0, in questo caso si trovano semplicemente trasferendo il termine libero sul lato destro dell'equazione. Cambia anche il suo segno. Ottieni il record az² \u003d -s. Espresso z² = -c/a. Prendi la radice e scrivi due soluzioni: un valore positivo e uno negativo della radice quadrata.

Nota

Se nell'equazione sono presenti coefficienti frazionari, moltiplica l'intera equazione per il fattore appropriato in modo da eliminare le frazioni.

Sapere come risolvere le equazioni quadratiche è necessario sia per gli scolari che per gli studenti, a volte può aiutare un adulto nella vita di tutti i giorni. Esistono diversi metodi decisionali specifici.

Risoluzione di equazioni quadratiche

Un'equazione quadratica della forma a*x^2+b*x+c=0. Il coefficiente x è la variabile desiderata, a, b, c - coefficienti numerici. Ricorda che il segno "+" può cambiare nel segno "-".

Per risolvere questa equazione, devi usare il teorema di Vieta o trovare il discriminante. Il modo più comune è trovare il discriminante, poiché per alcuni valori di a, b, c non è possibile utilizzare il teorema di Vieta.

Per trovare il discriminante (D), devi scrivere la formula D=b^2 - 4*a*c. Il valore di D può essere maggiore, minore o uguale a zero. Se D è maggiore o minore di zero, allora ci saranno due radici, se D = 0, allora rimane solo una radice, più precisamente, possiamo dire che D in questo caso ha due radici equivalenti. Sostituisci i coefficienti noti a, b, c nella formula e calcola il valore.

Dopo aver trovato il discriminante, per trovare x, utilizzare le formule: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a dove sqrt è la funzione per calcolare la radice quadrata del numero specificato. Dopo aver calcolato queste espressioni, troverai le due radici della tua equazione, dopodiché l'equazione sarà considerata risolta.

Se D è minore di zero allora ha ancora radici. A scuola, questa sezione non è praticamente studiata. Gli studenti universitari dovrebbero essere consapevoli che sotto la radice appare un numero negativo. Ce ne liberiamo separando la parte immaginaria, cioè -1 sotto la radice è sempre uguale all'elemento immaginario "i", che viene moltiplicato per la radice con lo stesso numero positivo. Ad esempio, se D=sqrt(-20), dopo la trasformazione si ottiene D=sqrt(20)*i. Dopo questa trasformazione, la soluzione dell'equazione si riduce allo stesso risultato delle radici, come descritto sopra.

Il teorema di Vieta consiste nella selezione dei valori x(1) e x(2). Vengono utilizzate due equazioni identiche: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Inoltre, un punto molto importante è il segno davanti al coefficiente b, ricorda che questo segno è opposto a quello nell'equazione. A prima vista, sembra che calcolare x(1) e x(2) sia molto semplice, ma quando lo risolvi ti imbatterai nel fatto che i numeri dovranno essere selezionati esattamente.