Analizzeremo due tipi di sistemi risolutivi di equazioni:

1. Soluzione del sistema con il metodo di sostituzione.
2. Soluzione del sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.

Per risolvere il sistema di equazioni metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimiamo. Da qualsiasi equazione, esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo in un'altra equazione al posto della variabile espressa, il valore risultante.
3. Risolviamo l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.

Risolvere sistema per addizione (sottrazione) termine per termine bisogno di:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo gli stessi coefficienti.
2. Aggiungiamo o sottraiamo le equazioni, di conseguenza otteniamo un'equazione con una variabile.
3. Risolviamo l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.

La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici della funzione.

Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.

Esempio 1:

Risolviamo con il metodo di sostituzione

Risoluzione del sistema di equazioni con il metodo di sostituzione

2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)

1. Esprimere
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con un coefficiente pari a 1, quindi risulta che è più semplice esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10y

2. Dopo l'espressione, sostituiamo 3 + 10y nella prima equazione invece della variabile x.
2(3+10a)+5a=1

3. Risolviamo l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10a)+5a=1 (parentesi aperte)
6+20a+5a=1
25 anni=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è costituito da xey.Troviamo x, nel primo paragrafo in cui abbiamo espresso sostituiamo lì y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

È consuetudine scrivere prima i punti, scrivere la variabile x e poi la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)

Esempio n.2:

Risolviamo tramite addizione (sottrazione) termine per termine.

Risoluzione di un sistema di equazioni con il metodo dell'addizione

3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)

1. Seleziona una variabile, diciamo che selezioniamo x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere uguali i coefficienti, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividerle per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Dalla prima equazione, sottrai la seconda per eliminare la variabile x. Risolvi l'equazione lineare.
__6x-4y=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Il punto di intersezione sarà x=4,6; y=6,4
Risposta: (4.6; 6.4)

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Nel corso di matematica di 7a elementare, si incontrano per la prima volta equazioni con due variabili, ma sono studiati solo nel contesto di sistemi di equazioni a due incognite. Ecco perché passano inosservati numerosi problemi in cui vengono introdotte determinate condizioni sui coefficienti dell'equazione che li limitano. Inoltre, vengono ignorati anche i metodi per risolvere problemi come "Risolvere un'equazione in numeri naturali o interi", sebbene problemi di questo tipo si incontrino sempre più spesso nei materiali USE e negli esami di ammissione.

Quale equazione sarà chiamata equazione a due variabili?

Quindi, ad esempio, le equazioni 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 sono equazioni a due variabili.

Considera l'equazione 2x - y = 1. Si trasforma in una vera uguaglianza in x = 2 e y = 3, quindi questa coppia di valori variabili è la soluzione dell'equazione in esame.

Pertanto, la soluzione di qualsiasi equazione a due variabili è l'insieme delle coppie ordinate (x; y), i valori delle variabili che questa equazione trasforma in una vera uguaglianza numerica.

Un'equazione in due incognite può:

UN) avere una soluzione. Ad esempio, l'equazione x 2 + 5y 2 = 0 ha un'unica soluzione (0; 0);

B) avere più soluzioni. Ad esempio, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ha 4 soluzioni: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

V) non avere soluzioni. Ad esempio, l'equazione x 2 + y 2 + 1 = 0 non ha soluzioni;

G) avere infinite soluzioni. Ad esempio, x + y = 3. Le soluzioni di questa equazione saranno numeri la cui somma è 3. L'insieme delle soluzioni di questa equazione può essere scritto come (k; 3 - k), dove k è un numero reale qualsiasi.

I metodi principali per risolvere equazioni a due variabili sono metodi basati su espressioni di fattorizzazione, evidenziazione del quadrato completo, utilizzo delle proprietà di un'equazione quadratica, espressioni limitate e metodi di valutazione. L'equazione, di regola, viene trasformata in una forma da cui è possibile ottenere un sistema per trovare le incognite.

Fattorizzazione

Esempio 1

Risolvi l'equazione: xy - 2 = 2x - y.

Soluzione.

Raggruppiamo i termini ai fini del factoring:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Estrai il fattore comune da ciascuna parentesi:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Abbiamo:

y = 2, x è un numero reale qualsiasi oppure x = -1, y è un numero reale qualsiasi.

Così, la risposta è tutte le coppie della forma (x; 2), x € R e (-1; y), y € R.

Uguaglianza a zero dei numeri non negativi

Esempio 2

Risolvi l'equazione: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Soluzione.

Raggruppamento:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Ora ciascuna parentesi può essere compressa utilizzando la formula della differenza quadrata.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

La somma di due espressioni non negative è zero solo se 3x - 2 = 0 e 2y - 3 = 0.

Quindi x = 2/3 e y = 3/2.

Risposta: (2/3; 3/2).

Metodo di valutazione

Esempio 3

Risolvi l'equazione: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Soluzione.

In ciascuna parentesi, seleziona il quadrato intero:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Stima il significato delle espressioni tra parentesi.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 e (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, allora il lato sinistro dell'equazione è sempre almeno 2. L'uguaglianza è possibile se:

(x + 1) 2 + 1 = 1 e (y - 2) 2 + 2 = 2, quindi x = -1, y = 2.

Risposta: (-1; 2).

Facciamo conoscenza con un altro metodo per risolvere equazioni con due variabili di secondo grado. Questo metodo è che l'equazione è considerata come quadrato rispetto ad una variabile.

Esempio 4

Risolvi l'equazione: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Soluzione.

Risolviamo l'equazione come quadratica rispetto a x. Troviamo il discriminante:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . L'equazione avrà una soluzione solo quando D = 0, cioè se y = 4. Sostituiamo il valore di y nell'equazione originale e troviamo che x = 3.

Risposta: (3; 4).

Spesso nelle equazioni con due incognite si indica restrizioni sulle variabili.

Esempio 5

Risolvi l'equazione in numeri interi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Soluzione.

Riscriviamo l'equazione nella forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Il lato destro dell'equazione risultante, quando diviso per 5, dà un resto di 2. Pertanto, x 2 non è divisibile per 5. Ma il quadrato di un numero che non è divisibile per 5 dà resto 1 o 4. Quindi l'uguaglianza è impossibile e non ci sono soluzioni.

Risposta: nessuna radice.

Esempio 6

Risolvi l'equazione: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Soluzione.

Selezioniamo i quadrati completi in ciascuna parentesi:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Il lato sinistro dell'equazione è sempre maggiore o uguale a 3. L'uguaglianza è possibile se |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Quindi x = ± 2, y = -3.

Risposta: (2; -3) e (-2; -3).

Esempio 7

Per ogni coppia di interi negativi (x; y) che soddisfano l'equazione
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcola la somma (x + y). Rispondi all'importo più piccolo.

Soluzione.

Seleziona quadrati interi:

(x2 - 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Poiché xey sono numeri interi, anche i loro quadrati sono numeri interi. La somma dei quadrati di due numeri interi, pari a 37, si ottiene se aggiungiamo 1 + 36. Pertanto:

(x - y) 2 = 36 e (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 e (y + 2) 2 = 36.

Risolvendo questi sistemi e tenendo conto che xey sono negativi, troviamo le soluzioni: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Risposta: -17.

Non disperare se hai difficoltà a risolvere le equazioni a due incognite. Con un po' di pratica sarai in grado di padroneggiare qualsiasi equazione.

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Equazioni

Come risolvere le equazioni?

In questa sezione ricorderemo (o studieremo, a piacere) le equazioni più elementari. Allora cos'è un'equazione? Parlando in termini umani, questa è una sorta di espressione matematica, dove c'è un segno di uguale e un'incognita. Che di solito è indicato con la lettera "X". risolvere l'equazioneè trovare tali valori x che, quando si sostituiscono in iniziale espressione, ci darà l'identità corretta. Permettetemi di ricordarvi che l'identità è un'espressione che non solleva dubbi anche per una persona che non è assolutamente gravata di conoscenze matematiche. Come 2=2, 0=0, ab=ab ecc. Allora come si risolvono le equazioni? Scopriamolo.

Esistono tutti i tipi di equazioni (sono rimasto sorpreso, vero?). Ma tutta la loro infinita varietà può essere divisa in soli quattro tipi.

4. Altro.)

Tutto il resto, ovviamente, soprattutto, sì ...) Ciò include cubico, esponenziale, logaritmico, trigonometrico e ogni sorta di altro. Lavoreremo a stretto contatto con loro nelle sezioni pertinenti.

Devo dire subito che a volte le equazioni dei primi tre tipi sono così contorte che non le riconosci... Niente. Impareremo come svolgerli.

E perché abbiamo bisogno di questi quattro tipi? E poi cosa equazioni lineari risolto in un modo piazza altri razionale frazionario - il terzo, UN riposo non è affatto risolto! Beh, non è che non decidano affatto, ho offeso invano la matematica.) È solo che hanno le loro tecniche e metodi speciali.

Ma per qualsiasi (ripeto - per Qualunque!) equazioni è una base affidabile e senza problemi per la risoluzione. Funziona ovunque e sempre. Questa base - Sembra spaventoso, ma la cosa è molto semplice. E molto (Molto!) importante.

In realtà, la soluzione dell'equazione consiste in queste stesse trasformazioni. Al 99%. Rispondi alla domanda: " Come risolvere le equazioni?" bugie, proprio in queste trasformazioni. È chiaro il suggerimento?)

Trasformazioni di identità di equazioni.

IN eventuali equazioni per trovare l'ignoto è necessario trasformare e semplificare l'esempio originale. Inoltre, in modo che quando si cambia l'aspetto l'essenza dell'equazione non è cambiata. Tali trasformazioni sono chiamate identico o equivalente.

Si noti che queste trasformazioni sono solo per le equazioni. In matematica ci sono ancora trasformazioni identiche espressioni. Questo è un altro argomento.

Ora ripeteremo tutto-tutto-tutto di base trasformazioni identiche di equazioni.

Fondamentali perché applicabili Qualunque equazioni: lineari, quadratiche, frazionarie, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, ecc. e così via.

Prima trasformazione identica: entrambi i membri di qualsiasi equazione possono essere sommati (sottratti) Qualunque(ma è lo stesso!) un numero o un'espressione (compresa un'espressione con incognita!). L'essenza dell'equazione non cambia.

A proposito, hai utilizzato costantemente questa trasformazione, pensavi solo di trasferire alcuni termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. Tipo:

La questione è familiare, spostiamo il diavolo a destra e otteniamo:

In realtà tu portato via da entrambi i lati dell'equazione due. Il risultato è lo stesso:

x+2 - 2 = 3 - 2

Lo spostamento dei termini a sinistra-destra con cambio di segno è semplicemente una versione abbreviata della prima trasformazione identica. E perché abbiamo bisogno di una conoscenza così profonda? - tu chiedi. Niente nelle equazioni. Muoviti, per l'amor di Dio. Basta non dimenticare di cambiare il segno. Ma nelle disuguaglianze, l’abitudine al transfert può portare a un vicolo cieco….

Seconda trasformazione dell'identità: entrambi i lati dell'equazione possono essere moltiplicati (divisi) per lo stesso diverso da zero numero o espressione. Qui appare già una limitazione comprensibile: è stupido moltiplicare per zero, ma è impossibile dividere del tutto. Questa è la trasformazione che usi quando decidi qualcosa di interessante

Comprensibilmente, X= 2. Ma come l'hai trovato? Selezione? O semplicemente illuminato? Per non raccogliere e aspettare l'intuizione, devi capire che sei giusto dividere entrambi i lati dell'equazione per 5. Quando si divideva il lato sinistro (5x), il cinque veniva ridotto, lasciando una X pura. Questo è ciò di cui avevamo bisogno. E dividendo il lato destro di (10) per cinque, si è scoperto, ovviamente, un due.

È tutto.

È divertente, ma queste due (solo due!) trasformazioni identiche sono alla base della soluzione tutte le equazioni della matematica. Come! Ha senso guardare esempi di cosa e come, giusto?)

Esempi di trasformazioni identiche di equazioni. Principali problemi.

Iniziamo con Primo trasformazione identica. Spostati a sinistra-destra.

Un esempio per i più piccoli.)

Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente equazione:

3-2x=5-3x

Ricordiamo l'incantesimo: "con X - a sinistra, senza X - a destra!" Questo incantesimo è un'istruzione per applicare la prima trasformazione dell'identità.) Qual è l'espressione con la x a destra? 3x? La risposta è sbagliata! Alla nostra destra - 3x! Meno tre x! Pertanto, quando si sposta a sinistra, il segno cambierà in più. Ottenere:

3-2x+3x=5

Quindi le X sono state messe insieme. Facciamo i numeri. Tre a sinistra. Che segno? La risposta “con nessuno” non è accettata!) Davanti alla tripla, infatti, non viene disegnato nulla. E questo significa che davanti c'è la tripla più. Quindi i matematici furono d'accordo. Non c'è scritto nulla, quindi più. Pertanto, la tripla verrà trasferita sul lato destro con un segno meno. Noi abbiamo:

-2x+3x=5-3

Sono rimasti degli spazi vuoti. A sinistra - dai simili, a destra - conta. La risposta è immediata:

In questo esempio è stata sufficiente una trasformazione identica. Il secondo non era necessario. Allora ok.)

Un esempio per gli anziani.)

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Nel corso scolastico di matematica vengono studiate le formule delle radici delle equazioni quadratiche, con l'aiuto delle quali è possibile risolvere qualsiasi equazione quadratica. Tuttavia, esistono altri modi per risolvere le equazioni quadratiche che consentono di risolvere molte equazioni in modo rapido e razionale. Esistono dieci modi per risolvere le equazioni quadratiche. Nel mio lavoro, ho analizzato ciascuno di essi in dettaglio.

1. METODO : Fattorizzazione del membro sinistro dell'equazione.

Risolviamo l'equazione

x2 + 10x - 24 = 0.

Fattorizziamo il lato sinistro:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Pertanto l’equazione può essere riscritta come:

(x + 12)(x - 2) = 0

Poiché il prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero. Pertanto, il lato sinistro dell'equazione svanisce in x = 2, così come a x = -12. Ciò significa che il numero 2 E - 12 sono le radici dell'equazione x2 + 10x - 24 = 0.

2. METODO : Metodo di selezione del quadrato intero.

Risolviamo l'equazione x2 + 6x - 7 = 0.

Selezioniamo un quadrato intero sul lato sinistro.

Per fare ciò, scriviamo l'espressione x 2 + 6x nella seguente forma:

x2 + 6x = x2 + 2x3.

Nell'espressione risultante, il primo termine è il quadrato del numero x e il secondo è il doppio prodotto di x per 3. Pertanto, per ottenere il quadrato completo, è necessario aggiungere 3 2, poiché

x2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

Ora trasformiamo il lato sinistro dell'equazione

x2 + 6x - 7 = 0,

sommando e sottraendo 3 2 . Abbiamo:

x2 + 6x - 7 = x2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Pertanto, questa equazione può essere scritta come segue:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Quindi, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, oppure x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODO :Soluzione di equazioni quadratiche mediante formula.

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione

ah 2+Bx + c = 0, a ≠ 0

su 4a e successivamente abbiamo:

4a2x2+4aBx + 4ac = 0,

((2assi) 2 + 2assiB + B 2 ) - B 2 + 4 AC = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

Esempi.

UN) Risolviamo l'equazione: 4x2 + 7x + 3 = 0.

un = 4,B= 7, c = 3,D = B 2 - 4 AC = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, due radici diverse;

Pertanto, nel caso di un discriminante positivo, cioè A

B 2 - 4 AC >0 , l'equazione ah 2+Bx + c = 0 ha due radici diverse.

B) Risolviamo l'equazione: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

un = 4,B= - 4, c = 1,D = B 2 - 4 AC = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, una radice;

Quindi, se il discriminante è zero, cioè B 2 - 4 AC = 0 , quindi l'equazione

ah 2+Bx + c = 0 ha una sola radice

V) Risolviamo l'equazione: 2x2 + 3x + 4 = 0,

un = 2,B= 3, c = 4,D = B 2 - 4 AC = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Questa equazione non ha radici.

Quindi, se il discriminante è negativo, cioè B 2 - 4 AC < 0 ,

l'equazione ah 2+Bx + c = 0 non ha radici.

Formula (1) delle radici dell'equazione quadratica ah 2+Bx + c = 0 ti permette di trovare le radici Qualunque equazione quadratica (se presente), inclusa quella ridotta e incompleta. La formula (1) è espressa verbalmente come segue: le radici di un'equazione quadratica sono uguali a una frazione il cui numeratore è uguale al secondo coefficiente, preso con il segno opposto, più meno la radice quadrata del quadrato di questo coefficiente senza quadruplicare il prodotto del primo coefficiente per il termine libero, e il denominatore è il doppio del primo coefficiente.

4. METODO: Soluzione di equazioni utilizzando il teorema di Vieta.

Come è noto, l'equazione quadratica data ha la forma

x2+px + C = 0. (1)

Le sue radici soddisfano il teorema Vieta, che, quando un =1 ha la forma

X 1 X 2 = Q,

X 1 + X 2 = - P

Da ciò possiamo trarre le seguenti conclusioni (i segni delle radici possono essere predetti dai coefficienti p e q).

a) Se il termine sommario Q dell'equazione ridotta (1) è positiva ( Q > 0 ), allora l'equazione ha due radici dello stesso segno e questa è l'invidia del secondo coefficiente P. Se R< 0 , allora entrambe le radici sono negative se R< 0 , allora entrambe le radici sono positive.

Per esempio,

X 2 – 3 X + 2 = 0; X 1 = 2 E X 2 = 1, Perché Q = 2 > 0 E P = - 3 < 0;

X 2 + 8 X + 7 = 0; X 1 = - 7 E X 2 = - 1, Perché Q = 7 > 0 E P= 8 > 0.

b) Se membro gratuito Q dell'equazione ridotta (1) è negativo ( Q < 0 ), allora l'equazione ha due radici di segno diverso e la radice più grande in valore assoluto sarà positiva se P < 0 , o negativo se P > 0 .

Per esempio,

X 2 + 4 X – 5 = 0; X 1 = - 5 E X 2 = 1, Perché Q= - 5 < 0 E P = 4 > 0;

X 2 – 8 X – 9 = 0; X 1 = 9 E X 2 = - 1, Perché Q = - 9 < 0 E P = - 8 < 0.

5. METODO: Risoluzione di equazioni utilizzando il metodo del "trasferimento".

Considera l'equazione quadratica

ah 2+Bx + c = 0, Dove un ≠ 0.

Moltiplicando entrambe le sue parti per a, otteniamo l'equazione

a2x2+aBx + ac = 0.

Permettere ah = sì, Dove x = sì/a; poi arriviamo all'equazione

sì 2+di+ ac = 0,

equivalente a questo. le sue radici 1 E A 2 può essere trovato utilizzando il teorema di Vieta.

Finalmente otteniamo

x 1 \u003d y 1 / a E x 1 \u003d y 2 / a.

Con questo metodo, il coefficiente UN viene moltiplicato per il termine libero, come se gli fosse “lanciato”, quindi si chiama metodo di trasferimento. Questo metodo viene utilizzato quando le radici di un'equazione possono essere facilmente trovate utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

Esempio.

Risolviamo l'equazione 2x2 - 11x + 15 = 0.

Soluzione."Trasferiamo" il coefficiente 2 al termine libero, di conseguenza otteniamo l'equazione

y 2 - 11 y + 30 = 0.

Secondo il teorema di Vieta

y1 = 5x1 = 5/2X 1 = 2,5

y2 = 6X 2 = 6/2 X 2 = 3.

Risposta: 2,5; 3.

6. METODO: Proprietà dei coefficienti di un'equazione quadratica.

UN. Consideriamo l'equazione quadratica

ah 2+Bx + c = 0, Dove un ≠ 0.

1) Se, a+B+ c \u003d 0 (ovvero la somma dei coefficienti è zero), quindi x 1 \u003d 1,

x 2 \u003d s / a.

Prova. Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per a ≠ 0, otteniamo l'equazione quadratica ridotta

X 2 + B/ UN X + C/ UN = 0.

Secondo il teorema di Vieta

X 1 + X 2 = - B/ UN,

X 1 X 2 = 1 C/ UN.

Per condizione UN -B+ c = 0, Dove B= un+c. Così,

x1 + x2 = -UN+ b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a),

quelli. x1 = -1 E x2=C/ UN, che dovevamo dimostrare.

Esempi.

1) Risolvi l'equazione 345x2 - 137x - 208 = 0.

Soluzione. Perché un+B+ c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), Quello

x1 = 1, x2 =C/ UN = -208/345.

Risposta 1; -208/345.

2) Risolvi l'equazione 132x2 - 247x + 115 = 0.

Soluzione. Perché un+B+ c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), Quello

x1 = 1, x2 =C/ UN = 115/132.

Risposta 1; 115/132.

B. Se il secondo coefficiente B = 2 Kè un numero pari, quindi la formula delle radici

Esempio.

Risolviamo l'equazione 3x2 - 14x + 16 = 0.

Soluzione. Abbiamo: un = 3,B= - 14, c = 16,K = - 7 ;

D = K 2 – AC = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, due radici diverse;

L'approccio dell'autore a questo argomento non è casuale. Le equazioni con due variabili si incontrano per la prima volta nel corso di 7a elementare. Un'equazione con due variabili ha un numero infinito di soluzioni. Ciò è chiaramente dimostrato dal grafico di una funzione lineare data come ax + by=c. Nel corso scolastico, gli studenti studiano sistemi di due equazioni con due variabili. Di conseguenza, tutta una serie di problemi, con condizioni limitate sul coefficiente dell'equazione, nonché metodi per risolverli, cadono fuori dal campo visivo dell'insegnante e, quindi, dello studente.

Stiamo parlando di risolvere un'equazione con due incognite in numeri interi o naturali.

A scuola, i numeri naturali e interi vengono studiati nelle classi 4-6. Quando lasciano la scuola, non tutti gli studenti ricordano le differenze tra le serie di questi numeri.

Tuttavia, un compito come “risolvere un’equazione della forma ax + by=c in numeri interi” è sempre più comune negli esami di ammissione all’università e nei materiali USE.

Risolvere equazioni indefinite sviluppa il pensiero logico, l'ingegno e l'attenzione all'analisi.

Propongo lo sviluppo di diverse lezioni su questo argomento. Non ho raccomandazioni chiare sulla tempistica di queste lezioni. Elementi separati possono essere utilizzati in 7a elementare (per una classe forte). Queste lezioni possono essere prese come base e sviluppare un piccolo corso facoltativo sulla preparazione del pre-profilo al 9° anno. E, naturalmente, questo materiale può essere utilizzato nelle classi 10-11 per prepararsi agli esami.

Lo scopo della lezione:

• ripetizione e generalizzazione della conoscenza sull'argomento “Equazioni del primo e del secondo ordine”
• educazione dell'interesse cognitivo nella materia
• formazione di capacità per analizzare, fare generalizzazioni, trasferire la conoscenza in una nuova situazione

Lezione 1.

Durante le lezioni.

1) Organizz. momento.

2) Attualizzazione delle conoscenze di base.

Definizione. Un'equazione lineare con due variabili è un'equazione della forma

mx + ny = k, dove m, n, k sono numeri, x, y sono variabili.

Esempio: 5x+2y=10

Definizione. Una soluzione di un'equazione a due variabili è una coppia di valori delle variabili che trasforma questa equazione in una vera uguaglianza.

Le equazioni con due variabili aventi la stessa soluzione si dicono equivalenti.

1,5x+2y=12 (2)y=-2,5x+6

Questa equazione può avere un numero qualsiasi di soluzioni. Per fare ciò, è sufficiente prendere un valore x qualsiasi e trovare il valore y corrispondente.

Sia x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Coppie di numeri (2;1); (4;-4) - soluzioni dell'equazione (1).

Questa equazione ha infinite soluzioni.

3) Cenni storici

Le equazioni indefinite (diofantee) sono equazioni contenenti più di una variabile.

Nel III secolo. ANNO DOMINI – Diofanto d’Alessandria scrisse “Aritmetica”, in cui ampliò l’insieme dei numeri a quelli razionali, introdusse il simbolismo algebrico.

Inoltre, Diofanto considerò i problemi di risoluzione delle equazioni indefinite e fornì metodi per risolvere equazioni indefinite di secondo e terzo grado.

4) Imparare nuovo materiale.

Definizione: un'equazione diofantea disomogenea del primo ordine con due incognite x, y è un'equazione della forma mx + ny = k, dove m, n, k, x, y Z k0

Dichiarazione 1.

Se il termine libero k nell'equazione (1) non è divisibile per il massimo comun divisore (MCD) dei numeri m e n, allora l'equazione (1) non ha soluzioni intere.

Esempio: 34x - 17y = 3.

MCD (34; 17) = 17, 3 non è divisibile per 17, non esiste soluzione in numeri interi.

Sia k divisibile per mcd(m, n). Dividendo tutti i coefficienti si può ottenere che m e n diventino coprimi.

Dichiarazione 2.

Se m e n dell'equazione (1) sono numeri coprimi, allora questa equazione ha almeno una soluzione.

Dichiarazione 3.

Se i coefficienti m e n dell'equazione (1) sono numeri primi relativi, allora questa equazione ha infinite soluzioni:

Dove (; ) è una qualsiasi soluzione dell'equazione (1), t Z

Definizione. Un'equazione diofantea omogenea del primo ordine con due incognite x, y è un'equazione della forma mx + ny = 0, dove (2)

Dichiarazione 4.

Se m e n sono numeri primi relativi, allora qualsiasi soluzione dell’equazione (2) ha la forma

5) Compiti a casa. Risolvi l'equazione in numeri interi:

1. 9x - 18a = 5
2. x+y=xy
3. Diversi bambini stavano raccogliendo mele. Ogni ragazzo ha raccolto 21 kg e la ragazza 15 kg. In totale, hanno raccolto 174 kg. Quanti ragazzi e quante ragazze raccoglievano le mele?

Commento. Questa lezione non fornisce esempi di risoluzione di equazioni con numeri interi. Pertanto, i bambini risolvono i compiti in base all'affermazione 1 e alla selezione.

Lezione 2

1) Momento organizzativo

2) Controllo dei compiti

1) 9x - 18a = 5

5 non è divisibile per 9, non esistono soluzioni in numeri interi.

Il metodo di selezione può trovare una soluzione

Risposta: (0;0), (2;2)

3) Facciamo un'equazione:

Lasciamo i ragazzi x, x Z e le ragazze y, y Z, quindi possiamo scrivere l'equazione 21x + 15y = 174

Molti studenti, dopo aver creato un'equazione, non saranno in grado di risolverla.

Risposta: 4 ragazzi, 6 ragazze.

3) Imparare nuovo materiale

Di fronte alle difficoltà nello svolgimento dei compiti, gli studenti si sono convinti della necessità di studiare i loro metodi per risolvere equazioni indefinite. Consideriamone alcuni.

I. Metodo di considerazione dei resti della divisione.

Esempio. Risolvi l'equazione in numeri interi 3x – 4y = 1.

Il lato sinistro dell'equazione è divisibile per 3, quindi anche il lato destro deve essere divisibile. Consideriamo tre casi.

Risposta: dove m Z.

Il metodo descritto è conveniente da applicare se i numeri m e n non sono piccoli, ma si scompongono in fattori semplici.

Esempio: risolvere equazioni in numeri interi.

Sia y = 4n, allora 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) è divisibile per 4.

y = 4n+1, allora 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n non è divisibile per 4.

y = 4n+2, allora 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 2) = 16 - 28n - 14 = 2 - 28n non è divisibile per 4.

y = 4n+3, allora 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n non è divisibile per 4.

Quindi y = 4n

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Risposta: , dove n Z.

II. Equazioni indefinite di 2° grado

Oggi nella lezione toccheremo solo la soluzione delle equazioni diofantee del secondo ordine.

E tra tutti i tipi di equazioni, considera il caso in cui puoi applicare la formula della differenza dei quadrati o un altro modo di fattorizzazione.

Esempio: risolvere l'equazione in numeri interi.

13 è un numero primo, quindi può essere scomposto solo in quattro modi: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Considera questi casi

Risposta: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Compiti a casa.

Esempi. Risolvi l'equazione in numeri interi:

(x - y)(x + y)=4

2x=4	2x=5	2x=5
x=2	x=5/2	x=5/2
y=0	non adatto	non adatto
2x = -4	non adatto	non adatto
x=-2
y=0

Risposta: (-2;0), (2;0).

Risposte: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Risposta: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Risultati. Cosa significa risolvere un'equazione tra numeri interi?

Quali metodi per risolvere le equazioni indefinite conosci?

Applicazione:

Esercizi per l'allenamento.

1) Risolvi in ​​numeri interi.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, nZ
b) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, nZ
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, nZ
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, mZ
e) 9x - 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, nZ
f) 7x - 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, nZ
g) 19x - 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, pZ
h) 28x - 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, tZ

2) Trova soluzioni intere non negative dell'equazione:

Soluzione:Z(2;-1)

Letteratura.

1. Enciclopedia per bambini "Pedagogia", Mosca, 1972
2. Algebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO Nauka, Novosibirsk, 1992
3. Problemi di concorrenza basati sulla teoria dei numeri. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. Università statale di Mosca, VMK, Mosca, 2005
4. Compiti di maggiore difficoltà nel corso dei gradi di algebra 7-9. N.P. Kosrykin. “Illuminismo”, Mosca, 1991
5. Algebra 7, Makarychev Yu.N., “Illuminismo”.